高度合成数

番目	高度合成数	約数の個数
1	1	1
2	2	2
3	4	3
4	6	4
5	12	6
6	24	8
7	36	9
8	48	10
9	60	12
10	120	16
11	180	18
12	240	20
13	360	24
14	720	30
15	840	32
16	1260	36
17	1680	40
18	2520	48
19	5040	60
20	7560	64
21	10080	72
22	15120	80
23	20160	84
24	25200	90
25	27720	96
26	45360	100
27	50400	108
28	55440	120
29	83160	128
30	110880	144

高度合成数（こうどごうせいすう、英: highly composite number）とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,…(オンライン整数列大辞典の数列 (A002182))

例えば24は約数を（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。

(クイゼネールロッド)（英語版）を用いた最初の4つの高度合成数1, 2, 4, 6のデモンストレーション

素因数分解との関係

(約数の個数)は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 2⁴ × 3³ × 5 × 7　であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。

概要

高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は

${\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}$ 

という形で素因数分解され、

${\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}$ 

を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。

また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap= 1 である。

したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。

大雑把に言って、ある数が高度合成数になるには、できるだけ小さな素因数を持ち、しかも同じものを多く持ち過ぎない点を必要とする。

例えば 18 = 2×3×3 は、12 = 2×2×3 より大きく、しかも同じ数の約数しか持たないので高度合成数ではない。

しかし、同じ素因数を多く持つと約数の数は比較的少なくなる。

例えば、8 = 2×2×2 は 6 = 2×3 より大きく､同じ数の約数しか持たないので高度合成数にはならない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ（例：時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など）、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して

(log_e x)^a ≤ Q(x) ≤ (log_e x)^b

が成り立つ。

関連項目

• 合成数
• 超過剰数