倍積完全数 （ばいせきかんぜんすう、英 : multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number ）とは、その約数 の総和 が元の数の整数倍になるような自然数 のことである。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n ) = kn （k は自然数）を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k 倍完全数
k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数 と呼ぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n ) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。
例えば、120 の約数の総和は
σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120 であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。
具体的には 1 , 6 , 28 , 120 , 496 , 672 , 8128 , 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A007691）
p が n を割り切らない素数 とすると、n が p 倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値 である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち m が単偶数 である場合）、m /2 は奇数 の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。
k 倍完全数の表 以下にそれぞれの k 倍完全数 (k ≤ 11) のうち、現在見つかっている中で最小の数を挙げる。k =7 まではこれが最小であることが確認され、OEISに掲載されている（オンライン整数列大辞典 の数列 A007539）。k =8 以降は Flammenkamp のページに拠った。
k 最小の k 倍完全数 発見者、年 1 1 - 2 6 - 3 120 - 4 30240 デカルト 、1638年 5 14182439040 デカルト、1638年 6 154345556085770649600 カーマイケル (en:Robert Daniel Carmichael)、1907年 7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason、1911年 8 8.268099687077761372899241948635962893501… × 10132 Stephen F. Gretton、1990年 9 5.61308081837371589… × 10286 Fred Helenius、1995年 10 4.48565429898310924… × 10638 George Woltman (en:George Woltman)、2013年 11 2.51850413483992918… × 101906 George Woltman、2001年
2013年現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。
2倍完全数 : 完全数 を参照。 3倍完全数 : 120, 672, 523776, 459818240, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A005820） 4倍完全数 : 30240, 32760, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A027687） 5倍完全数 : 14182439040, 31998395520, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A046060） 6倍完全数 : 154345556085770649600, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A046061） 7倍完全数 : 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 8倍完全数 : 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000 9倍完全数 : 56130808183737158999998793684026231356147190822348283579122819870557664808030968216100782148452765644947099984854756332066651809002612793115408005967022213284272150201873375214629478176342119709234895003815657961417701371450048608475283004587476685222825422086715415685343739904000000000 [1]
性質 k = 2 のとき、つまり通常の完全数 の場合については同項目を参照。
k 倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている。k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数 を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい。これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は N n = k {\displaystyle {\frac {N}{n}}=k} 例：n = 6 のとき 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 12 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {12}{6}}=2}
その他倍積完全数に関すること 倍積完全数の中に約数の和も倍積完全数になる数がある。16番目の倍積完全数459818240の約数の和は17番目の倍積完全数1379454720になる特徴をもつ。 例．1, 459818240, 51001180160,…(A323653)
参考文献 H.-J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255. doi :10.1007/BF01360184 C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206. doi :10.1007/BF01362422
外部リンク A. Flammenkamp. The Multiply Perfect Numbers page. C. K. Caldwell. The Prime Glossary: Multiply perfect numbers. Weisstein, Eric W . "Multiperfect Number ". MathWorld
脚注 [脚注の使い方 ]
^ Les dix premiers nombres multiparfaits ou nombres K-parfaits
関連項目
倍積完全数, ばいせきかんぜんすう, multiply, perfect, number, multiperfect, number, pluperfect, number, とは, その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである, 約数関数, を用いて定義すると, は自然数, を満たす自然数, がであり, これを, k倍完全数ともいう, の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ, なお, の場合は, を満たす, のみであるため, 1倍完全数は, のみである, 例えば, の約数の総和は, 120であり. 倍積完全数 ばいせきかんぜんすう 英 multiply perfect number multiperfect number pluperfect number とは その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである 約数関数 s を用いて定義すると s n kn k は自然数 を満たす自然数 n が倍積完全数であり これを k倍完全数ともいう k 2 の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ なお k 1 の場合は s n n を満たす n が 1 のみであるため 1倍完全数は 1 のみである 例えば 120 の約数の総和は s 120 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 360 3 120であり 120 の 3 倍となるので 120 は3倍完全数である 具体的には 1 6 28 120 496 672 8128 30240 32760 523776 2178540 23569920 オンライン整数列大辞典の数列 A007691 p が n を割り切らない素数とすると n が p倍完全数であることと pn が p 1 倍完全数であることは同値である 例えば 3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合 すなわち m が単偶数である場合 m 2 は奇数の完全数となるが そのような数はいまだに見つかっていない 目次 1 k倍完全数の表 2 性質 3 その他倍積完全数に関すること 4 参考文献 5 外部リンク 6 脚注 7 関連項目k倍完全数の表 編集以下にそれぞれの k倍完全数 k 11 のうち 現在見つかっている中で最小の数を挙げる k 7 まではこれが最小であることが確認され OEISに掲載されている オンライン整数列大辞典の数列 A007539 k 8 以降は Flammenkamp のページに拠った k 最小の k倍完全数 発見者 年1 1 2 6 3 120 4 30240 デカルト 1638年5 14182439040 デカルト 1638年6 154345556085770649600 カーマイケル en Robert Daniel Carmichael 1907年7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason 1911年8 8 268099687077761372899241948635962893501 10132 Stephen F Gretton 1990年9 5 61308081837371589 10286 Fred Helenius 1995年10 4 48565429898310924 10638 George Woltman en George Woltman 2013年11 2 51850413483992918 101906 George Woltman 2001年2013年現在 11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている 2倍完全数 完全数を参照 3倍完全数 120 672 523776 459818240 オンライン整数列大辞典の数列 A005820 4倍完全数 30240 32760 2178540 23569920 オンライン整数列大辞典の数列 A027687 5倍完全数 14182439040 31998395520 オンライン整数列大辞典の数列 A046060 6倍完全数 154345556085770649600 オンライン整数列大辞典の数列 A046061 7倍完全数 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 8倍完全数 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000 9倍完全数 56130808183737158999998793684026231356147190822348283579122819870557664808030968216100782148452765644947099984854756332066651809002612793115408005967022213284272150201873375214629478176342119709234895003815657961417701371450048608475283004587476685222825422086715415685343739904000000000 1 性質 編集k 2 のとき つまり通常の完全数の場合については同項目を参照 k倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが 3倍完全数は6個 4倍完全数は36個 5倍完全数は65個 6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており これより多くは存在しないと言われている k 2 とし N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする このとき N は k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と 1 または偶数の完全数との積になる Kanold 1956 この定数 C は実際に計算可能である Pomerance 1977 k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい これは n の約数の和を N としたとき 逆数の和は N n k displaystyle frac N n k になることから証明できる 例 n 6 のとき 1 1 1 2 1 3 1 6 12 6 2 displaystyle frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 6 frac 12 6 2 倍積完全数の約数の和になっている数は 1 12 56 360 992 2016 16256 120960 オンライン整数列大辞典の数列 A307741 その他倍積完全数に関すること 編集倍積完全数の中に約数の和も倍積完全数になる数がある 16番目の倍積完全数459818240の約数の和は17番目の倍積完全数1379454720になる特徴をもつ 例 1 459818240 51001180160 A323653 参考文献 編集H J Kanold Uber einen Satz von L E Dickson II Math Ann 132 1956 246 255 doi 10 1007 BF01360184 C Pomerance Multiple Perfect Numbers Mersenne Primes and Effective Computability Math Ann 226 1977 195 206 doi 10 1007 BF01362422外部リンク 編集A Flammenkamp The Multiply Perfect Numbers page C K Caldwell The Prime Glossary Multiply perfect numbers Weisstein Eric W Multiperfect Number MathWorld 英語 脚注 編集 脚注の使い方 Les dix premiers nombres multiparfaits ou nombres K parfaits関連項目 編集完全数 https ja wikipedia org w index php title 倍積完全数 amp oldid 93970318 から取得, ウィキペディア、ウィキ 、本、library、
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