カイ二乗分布 （カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ2 分布 は確率分布 の一種で、推計統計学 で最も広く利用されるものである。ヘルメルト により発見され[1] ピアソン により命名された[2]
カイ二乗分布 確率密度関数
累積分布関数
母数 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 台 [0, ∞) 確率密度関数 x k / 2 − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}} 累積分布関数 γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}} 期待値 k 中央値 ≃ k − 2 3 + 4 27 k − 8 729 k 2 {\displaystyle \simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}} 最頻値 0 for k < 2k − 2 for k ≥ 2 分散 2k 歪度 2 2 k {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}} 尖度 12 / k エントロピー k / 2 k / 2 k / 2 k / 2 モーメント母関数 1 ( 1 − 2 t ) k / 2 for t < 1 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2} 特性関数 1 ( 1 − 2 i t ) k / 2 {\displaystyle {\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}} (テンプレートを表示 )
独立 に標準正規分布 に従う k 個の確率変数 X 1 , …, Xk 統計量
Z = ∑ i = 1 k X i 2 {\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}} の従う分布のことを自由度 k のカイ二乗分布と呼ぶ。
普通はこれを
Z ∼ χ k 2 {\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}} と書く。カイ二乗分布は k という1個の母数 をもつ。これは Xi の自由度 に等しい正の整数 である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布 の特殊な場合に当たる。
カイ二乗分布はカイ二乗検定 と総称される多くの検定法のほか、(フリードマン検定 )（英語版） などにも利用される。
性質 カイ二乗分布の確率密度関数 は x ≥ 0
f ( x ; k ) = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 e − x / 2 {\displaystyle f(x;k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}} また x ≤ 0fk (x ) = 0Γ はガンマ関数 である。
(分布関数 )は
F ( x ; k ) = γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}} （ただし γ (k , z )不完全ガンマ関数 ）である。
Y = X 1 / ν 1 X 2 / ν 2 {\displaystyle Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}} X 1 ∼ χ ν 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}} X 2 ∼ χ ν 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}} Y ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} F分布 に従う。
X ∼ χ 2 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}} X は期待値 2 の指数分布 に従う。
自由度 k のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値 は k で、分散 は 2k である。中央値は近似的に
k − 2 3 + 4 27 k − 8 729 k 2 {\displaystyle k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}} となる。
カイ二乗分布は再生性 を持つ。すなわち、 X ∼ χ m 2 , Y ∼ χ n 2 {\displaystyle X\sim \chi _{m}^{2},\ Y\sim \chi _{n}^{2}} X + Y ∼ χ m + n 2 {\displaystyle X+Y\sim \chi _{m+n}^{2}}
正規分布による近似 X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} k が無限大に近づくと X の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 8 k {\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{k}}}} 尖度 12 / k X 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。
2 X {\displaystyle {\sqrt {2X}}} √ 2k − 1 1 の正規分布に従う（ロナルド・フィッシャー ）。 X k 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {X}{k}}}} 1 − 2 / 9k 、分散 2 / 9k 1931年 ）。
脚注 ^ Helmert, F. R. (1875): Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler , Zeitschrift für Mathematik und Physik, 20 , 300-303, インターネットアーカイブ : zeitschriftfrma29runggoog/page/n287. ^ Pearson, K. (1900): On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling , Philosophical Magazine 5, 50 , 157-175, doi :10.1080/14786440009463897.
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