等差数列

数学における等差数列（とうさすうれつ）または算術数列（さんじゅつすうれつ、（英: arithmetic progression, arithmetic sequence）とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差（こうさ、（英: common difference）という。

例えば、 $5, 7, 9, \dots$ は初項 $5$ , 公差 $2$ の等差数列である。同様に、 $1, 7, 13, \dots$ は公差 $6$ の等差数列である。

等差数列の初項を $a 0$ とし、その公差を $d$ とすれば、第 $n$ 項 $a n$ は

a_{n}=a_{0}+nd

であり、一般に

a_{n}=a_{m}+(n-m)d

と書ける。

等差数列の和は算術級数 (arithmetic series) という。等差数列の無限和（無限算術級数）は発散級数である。

総和

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

和 $2 + 5 + 8 + 11 + 14$ の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ一つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、 $2 + 14 = 16$ , $16 \times 5 = 80$ が求める和の二倍に等しい。

「無限算術級数」も参照

有限の^{[注釈 1]}等差数列の和を算術級数と言う。公差 $d$ の等差数列の第 $n$ 項まで $a 0, a 1, \dots, a n$ の総和は、

{\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}

と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する。^{[注釈 2]}

GIF動画: 自然数の和

1 + 2 + \dots + n

を求める公式の導出

算術級数の公式は、算術級数 $S n$ の各項を初項 $a 0$ で書き換えたものと、末尾の項 $a n$ で書き換えたもの和から $2 S n$ を求めることで得られる：

{\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\cancel {{}+d}}+a_{n}{\cancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\cancel {{}+2d}}+a_{n}{\cancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\cancel {{}+nd}}+a_{n}{\cancel {{}-nd}})\end{aligned}}

右辺では交差 $d$ を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 $2 S n = (n + 1)(a 0 + a n)$ となる。両辺を $2$ で割れば

S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

を得る。そして算術級数の平均値 $S n /(n + 1)$ は、明らかに $(a 0 + a n)/2$ である。499年に、インド数学・(天文学)（英語版）古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、(Aryabhatiya)（英語版） (section 2.18) でこのような方法を与えている。

総乗

初項 $a 0$ で、公差 $d$ の等差数列に対して、初項から第 $n$ 項までの総乗

{\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}

（

x^{\overline {n}}

は上昇階乗冪）はガンマ関数

Γ

を用いて

P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}

という(閉じた式)（英語版）によって計算できる（ただし、 $a 0 / d$ が負の整数や $0$ となる場合は、式は意味を持たない）。 $Γ(n + 1) = n!$ に注意すれば、上記の式は、 $1$ から $n$ までの積 $1 \times 2 \times \dots \times n = n!$ および正の整数 $m$ から $n$ までの積 $m \times (m + 1) \times \dots \times (n - 1) \times n = n!/(m - 1)!$ を一般化するものであることが分かる。

共通項

任意の両側無限等差数列が二つ与えられたとき、それらに共通に表れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限等差数列からなる族に対し、どの二つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族は(ヘリー族)（英語版）である^[1]。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

注釈

[脚注の使い方]

^ 通常の意味では無限算術級数は発散するから、その和はそもそも無意味である。
^ よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師(J. G. Bütner)が生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手の(Martin Bartels)（英語版））がいたく驚いた、というものである。

出典

[脚注の使い方]

^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432, MR1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

参考文献

Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN (0-387-95419-8)

外部リンク

プロジェクト数学

(ポータル数学)

Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". MathWorld (英語).
Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". MathWorld (英語).
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Arithmetic progression", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
arithmetic progression - PlanetMath.（英語）
(Definition:Arithmetic Progression) at ProofWiki
(Sum of Arithmetic Progression) at ProofWiki

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[1] 通常の意味では無限算術級数は発散するから、その和はそもそも無意味である。

[2] よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師(J. G. Bütner)が生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手の(Martin Bartels)（英語版））がいたく驚いた、というものである。

[3] Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432, MR1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

[注釈 1]

[注釈 2]

[1]

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等差数列

目次

総和

総乗

共通項

注釈

出典

関連項目

参考文献

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