数学 において,正則ベクトル束 (せいそくベクトルそく,英 : holomorphic vector bundle )とは,複素多様体 X 上の複素ベクトル束 であって,全空間 E が複素多様体であり射影 π: E → X が正則 であるようなものである.基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である.正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である.
セールの (GAGA ) により,滑らかな 複素射影多様体 X (複素多様体と見る)上の正則ベクトル束の圏は,X 上の(代数ベクトル束 )(英語版) (すなわち階数が有限の局所自由層 )の圏と同値である.
自明化を通した定義 具体的には,局所自明化写像
ϕ U : π − 1 ( U ) → U × C k {\displaystyle \phi _{U}\colon \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}} は双正則 であることを要求する.これは変換関数
t U V : U ∩ V → GL k ( C ) {\displaystyle t_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} _{k}(\mathbf {C} )} が正則であると要求することと同値である.複素多様体の接束上の正則構造は,ベクトル値正則関数の(適切な意味での)微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される.
正則切断の層 E を正則ベクトル束とする.局所切断 s : U → E |U が正則 (holomorphic) であるとは,それが U の各点の近傍においてある(同値だが任意の)自明化において正則であることをいう.
この条件は局所的である,つまり正則切断たちは X 上の層 をなす.この層は O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} と書かれることがある.そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である.E が自明な直線束 C _ {\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}} であるとき,この層は複素多様体 X の構造層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} と一致する.
正則ベクトル束に値を持つ形式の層 E X p , q {\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}} で (p , q ) 型の C ∞ 微分形式の層を表すと,E に値を持つ (p , q ) 型形式の層はテンソル積
E p , q ( E ) ≜ E X p , q ⊗ E {\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E} として定義できる.
これらの層は細層 である,つまり1の分割 を持つ.
滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は,後者にはドルボー作用素 (英語版) と呼ばれる標準的な微分作用素
∂ ¯ : E p , q ( E ) → E p , q + 1 ( E ) {\displaystyle {\overline {\partial }}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E)} が存在することである.それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる.
正則ベクトル束のコホモロジー E が正則ベクトル束であるとき,E のコホモロジーは O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} の層係数コホモロジー と定義される.とくに,
H 0 ( X , O ( E ) ) = Γ ( X , O ( E ) ) , {\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),} E の大域正則切断の空間,となる.また, H 1 ( X , O ( E ) ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))} は E による X の自明直線束の拡大,つまり,正則ベクトル束の完全列 0 → E → F → X × C → 0 , の群をパラメトライズする.群構造については,(Baer 和 )(英語版) や(層の拡大 )(英語版) も参照.
ピカール群 複素微分幾何の文脈では,複素多様体 X のピカール群 Pic(X ) は,正則直線束の同型類の群であって,積はテンソル積,逆元は双対である.それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 H 1 ( X , O X ∗ ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})} として定義することもできる.
正則ベクトル束上のエルミート計量 E を複素多様体 M 上の正則ベクトル束とし,E 上にエルミート計量 が存在するとする,つまり,ファイバー Ex に滑らかに変化する内積 ⟨•, •⟩ が備わっているとする.すると複素構造と計量構造の両方と両立する E 上の(接続 ) ∇ が一意的に存在する.つまり,∇ が次のような接続である:
(1) E の任意の滑らかな切断 s に対して, p ∇ s = ∂ ¯ s {\displaystyle p\nabla s={\bar {\partial }}s} ただし p は (E 値 1 形式 )(英語版) の (0, 1) 成分を取る. (2) E の任意の滑らかな切断 s , t と M 上のベクトル場 X に対し, X ⋅ ⟨ s , t ⟩ = ⟨ ∇ X s , t ⟩ + ⟨ s , ∇ X t ⟩ {\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle } ただし X による ∇ s {\displaystyle \nabla s} の contraction を ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} と書いた.(これは ∇ による(平行移動 )(英語版) が計量 ⟨•, •⟩ を保存すると言っても同じである.) 実際,u = (e 1 , …, e n ) が正則枠であるとき, h i j = ⟨ e i , e j ⟩ {\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle } とし, ωu を等式 ∑ h i k ( ω u ) j k = ∂ h i j {\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}} によって定義する.この等式をより単純に次のように書く:
ω u = h − 1 ∂ h . {\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.} u ′ = ug を基底の正則な変換 g による別の枠とすると,
ω u ′ = g − 1 d g + g ω u g − 1 {\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1}} であり,したがって ω は確かに接続形式 であって,∇s = ds + ω · s によって ∇ を生じる.今, ω ¯ T = ∂ ¯ h ⋅ h − 1 {\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}} であるから,
d ⟨ e i , e j ⟩ = ∂ h i j + ∂ ¯ h i j = ⟨ ω i k e k , e j ⟩ + ⟨ e i , ω j k e k ⟩ = ⟨ ∇ e i , e j ⟩ + ⟨ e i , ∇ e j ⟩ . {\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .} つまり,∇ は計量構造と両立する.最後に,ω は (1, 0) 形式であるから, ∇ s {\displaystyle \nabla s} の (0, 1) 成分は ∂ ¯ s {\displaystyle {\bar {\partial }}s} である.
Ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega } を ∇ の曲率形式 とする. p ∇ = ∂ ¯ {\displaystyle p\nabla ={\bar {\partial }}} は二乗して零になるから,Ω は (0, 2) 成分を持たず,Ω は歪エルミートであることが容易に示せるから[1] ,それはまた (2, 0) 成分ももたない.したがって,Ω は次で与えられる (1, 1) 形式である:
Ω = ∂ ¯ ω . {\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}\omega .} 曲率 Ω は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理 ,例えば小平の消滅定理 や(中野の消滅定理 )(英語版) ,において顕著に現れる.
脚注 ^ 例えば,E 上のエルミート計量の存在は,枠束の構造群がユニタリ群 に帰着され,Ω がこのユニタリ群のリー環(歪エルミート行列からなる)に値を持つことを意味する.
参考文献 Griffiths, Phillip ; (Harris, Joseph ) (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: , ISBN (978-0-471-05059-9 ), MR 1288523 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Vector bundle, analytic", Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。
関連項目 (バーコフ・グロタンディークの定理 )(英語版) (キレン計量 )(英語版) セール双対性
外部リンク