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微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。
定義
G をリー代数 をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上の(エーレスマン接続)(Ehresmann connection)を ω とする。(エーレスマン接続は、P 上の に値を持つ 1-形式である。)
すると、曲率形式は P 上の に値を持つ 2-形式であり、
により定義される。
ここで、 は外微分を表し、 は により定義され、D は(共変外微分)(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、
である。
ベクトルバンドルの曲率形式
E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式
となる。ここに はウェッジ積とする。さらに詳しくは、 と で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると(各々の は通常の 1-形式で、各々の は通常の 2-形式である)、
となる。
例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、 となる。
ビアンキ恒等式
が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式 の(トーション) は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。
ここに、上記のように、D は(共変外微分)(exterior covariant derivative)である。
第一ビアンキ恒等式は、
であり、第二ビアンキ恒等式は、
参考文献
- (Shoshichi Kobayashi) and (Katsumi Nomizu) (1963) (Foundations of Differential Geometry), Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, (Wiley Interscience).
関連項目
- 接続 (主バンドル)
- (曲がった時空の数学への入門)
- チャーン・サイモンズ形式
- (リーマン多様体の曲率)
- ゲージ理論