ユニタリ群

n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、英: unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

定義

複素数体上のユニタリ群

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n)&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid \forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}\\&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid U^{\dagger }U=I_{n}\,\}\end{aligned}}}$ 

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である^[1]。

一般の体上のユニタリ群

ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。 基礎体 K の2次拡大体 L をとる。 線型空間 V = Lⁿ 上のエルミート形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+\dotsb +x_{n}{\overline {y_{n}}}\qquad {\big (}x=(x_{i}),\ y=(y_{i})\in V{\big )}}$ 

（ここで ${\displaystyle {\overline {y_{i}}}}$  は(代数共役)を表す） を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

${\displaystyle \operatorname {U} (n,K,L)=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,L)\mid \forall x,y\in V:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}}$ 

例

(4元体)を F₄ = {0, 1, ω, ω²} とする。 ただし演算は関係式 ω² + ω + 1 = 0 から定める。このとき U(2, F₂, F₄) は位数18の群で次の2元から生成される。

${\displaystyle \operatorname {U} (2,\mathbb {F} _{2},\mathbb {F} _{4})={\Big \langle }{\begin{bmatrix}\omega &\omega \\0&\omega \end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\Big \rangle }}$ 

性質

複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。

• 最も単純な n = 1 の U(1) は巡回群に対応し、絶対値が1の複素数からなる。全てのユニタリ群は U(1) のコピーを含む。
• ユニタリ群 U(n) は次元 n² の実リー群である。
• U(n) のリー代数は n 次歪エルミート行列からなり、その括弧積は交換子で与えられる。

関連項目

• 特殊ユニタリ群
• リー群

脚注

1. ^ Finite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59