準備 本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor 関手、Ext 関手を定義する。
ホモロジー R を可換環 とするとき、整数n を添え字として持つR -加群 C n {\displaystyle C_{n}} と写像 ∂ n : C n → C n − 1 {\displaystyle \partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}} の組 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で、
∂ n − 1 ∘ ∂ n = 0 {\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0} となるものR 上のチェイン複体 といい[1] 、
H n ( C ∗ ) := K e r ( ∂ n ) / I m ( ∂ n + 1 ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn 次のホモロジー加群 という[1] 。
コホモロジー 可換環R に対し、 C ∗ = ( C n , δ n ) n ∈ Z {\displaystyle C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で D ∗ := ( C − n , δ − n ) n ∈ Z {\displaystyle D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }} がR 上のチェイン複体になるものをコチェイン複体 といい[2] 、
H n ( C ∗ ) := H n ( D ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})} を C ∗ {\displaystyle C^{*}} のn 次のコホモロジー加群 という[2] 。
Tor 関手 R を単項イデアル整域とし、M 、N をR -加群 とする。さらに短完全系列
0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0} でA 、B が自由R -加群であるものを選び[注 1] 、
0 ⟶ A ⊗ R N ⟶ ι ⊗ R 1 N B ⊗ R N ⟶ p ⊗ R 1 N M ⊗ R N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0} を考えると必ずしも完全系列にならない[注 2] 。そこで
T o r R ( M , N ) := K e r ( ι ⊗ R 1 N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})} と定義する[4] 。 T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の定義はA 、B の取り方に依存しているが、実はA 、B を別のものに取り替えて定義した T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-defined である[4] 。
T o r R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をTor 関手 という。
なお、R が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTor が定義できるが本項では割愛する。また T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の事を T o r R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)} と表記し、より一般に T o r R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)} (n ≧0 )を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手 の項目を参照されたい。
Tor 関手は以下の性質を満たす。
命題 ― R を単項イデアル整域、M 、N をR -加群 とするとき、次が成立する:
T o r R ( M , N ) ≈ T o r R ( N , M ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)} 。[5] T o r R ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) ≈ ⊕ λ ∈ Λ T o r R ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR -加群としての直和を表す[6] 。 M が自由 R -加群なら T o r R ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0} T o r R ( R / ( x ) , N ) ≈ { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}} 。[7] T o r R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x ,y ) はx とy の最大公約元である。 K を標数0 の体とするとき、任意の有限生成R -加群M に対し、 T o r R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0} 証明
1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはM が自由R -加群であれば、
0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0} という分解が可能なので、 T o r R ( M , N ) = K e r ( ι ⊗ R 1 N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0} である。
4.に関してはx 倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、
0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0} という分解が可能であり、 R ⊕ R N ≈ N {\displaystyle R\oplus _{R}N\approx N} なので、
N → x ⋅ ⊗ R 1 N N → p ⊗ 1 N R / ( x ) ⊗ R N → 0 {\displaystyle N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0} である。よって T o r R ( M , N ) = K e r ( x ⋅ ⊗ R 1 N ) = { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}} である。
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、M が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、Rn とR /(x i ) の直和で書ける。よって1.により、 T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} は T o r R ( R n , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)} と T o r R ( R / ( x i ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)} の直和で書けるが、前者は3.より0 に等しく、後者も4.により0 に等しい。
R が単項イデアル整域であるので、M 、N が有限生成である場合、有限生成加群の基本定理 から、M はRn と複数のR /(x i ) の直和で書け、N も同様である。上述の1., 2.からTorR は直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorR を容易に計算できる。
Ext 関手 Tor のときと同様、R を単項イデアル整域とし、M 、N をR -加群 とし、さらに短完全系列
0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0} でA 、B が自由R -加群であるものを選ぶ[注 1] 。そして
0 ⟶ H o m R ( M , N ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , N ) ⟶ ι ∗ H o m R ( A ) → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0} を考えると必ずしも完全系列にはならない[注 3] 。そこで
E x t R ( M , N ) := C o k e r R ( ι ∗ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})} と定義する[9] 。ここでCoker は余核 である。すなわち、 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対し、 C o k e r ( f ) = Y / I m ( f ) {\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)} である。
E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} の定義はA 、B の取り方に依存しているが、実はA 、B を別のものに取り替えて定義した E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-defined である[9] 。
E x t R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をExt 関手 という。
また E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} に関しても T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と同様、R が一般の環の場合に対しても定義できるし、 E x t R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)} が定義できて E x t R ( M , N ) = E x t R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)} であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手 の項目を参照されたい。
Ext 関手は以下を満たす:
命題 ― R を単項イデアル整域、M 、N をR -加群 とするとき、次が成立する:
E x t ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) = ⊕ λ ∈ Λ E x t ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR -加群としての直和である[10] 。 E x t ( M , ∏ λ ∈ Λ N λ ) = ∏ λ ∈ Λ E x t ( M , N λ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })} 。ここで「 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 」はR -加群としての直積である[10] 。 M が自由R -加群なら E x t ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=0} E x t R ( R / ( x ) , N ) ≈ N / ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx N/(x)} 。[7] E x t R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x ,y ) はx とy の最大公約元である。 K を標数0 の体とするとき、任意の有限生成R -加群M に対し、 E x t R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0} 証明
1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはM が自由R -加群であれば、
0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0} という分解が可能なので、 E x t ( M , N ) = C o k e r ( ι ∗ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0} である。
4.に関しては、x 倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、
0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0} という分解が可能であり、
0 → H o m ( R / ( x ) , N ) → p ∗ H o m ( R , N ) → ( x ⋅ ) ∗ H o m ( R , N ) {\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)} である。 ここで φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} に対し、 ( x ⋅ ) ∗ ( φ ) ( u ) = φ ( x u ) = x φ ( u ) {\displaystyle (x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)} である。 しかも φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} は 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} の行き先により全ての u ∈ R {\displaystyle u\in R} の行き先が決まるので、 H o m ( R , N ) → ∼ N , φ ↦ φ ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)} である。よって E x t R ( R / ( x ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)} = C o k e r ( ( x ⋅ ) ∗ ) {\displaystyle =\mathrm {Coker} ((x\cdot )^{*})} ≈ N / ( x ) {\displaystyle \approx N/(x)} である。
5.は4.から直接従う。6.に関しては、M が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、Rn とR /(x i ) の直和で書ける。よって1.により、 E x t R ( M , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)} は E x t R ( R n , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R^{n},K)} と E x t R ( R / ( x i ) , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),K)} の直和で書けるが、前者は3.より0 に等しく、後者も4.により0 に等しい。
TorR の場合と同様、M が有限生成R -加群であれば、これらの性質からExtR を具体的に計算できる。
Tor に関する普遍係数定理 ホモロジーの場合 次の定理が成立することが知られている:
定理 (Tor に関する普遍係数定理 ) ― R を単項イデアル整域 とし、M をR -加群 とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR 上のチェイン複体で、各n に対し C n {\displaystyle C_{n}} がR -加群として自由なものとする。このとき
0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ M ) → β Tor R ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列 となるα 、β が存在する[11] 。
しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびM に関して自然 である。さらにこの短完全系列は(自然ではなく)分裂 する[11] 。
上記の定理でα は [ c ] ⊗ R m ∈ H n ( C ∗ ) ⊗ R M ↦ [ c ⊗ R m ] ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} と具体的に書ける[11] 。
なお、係数環 R が Z {\displaystyle \mathbb {Z} } でM が Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } の場合は、上記の定理は(ボックシュタイン・スペクトル系列 )(英語版) の特別な場合に相当する。
R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分F n と素数p に対する T n , p = { x ∈ H n ( C ∗ ) ∣ ∃ m > 0 : p m x = 0 } {\displaystyle T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}} の和で書ける。(有限個の素数p を除いて T n , p = 0 {\displaystyle T_{n,p}=0} である)。ここで前述したTorの性質 を利用すると、以下がわかる:
命題 ― 上記の設定のもと:
H n ( C ∗ ⊗ M ) ≈ H n ( C ∗ ) ⊗ M ⊕ Tor R ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) ≈ { Z p r a n k ( F n ) + r a n k ( T n − 1 , p ⊗ Z p ) if M = Z p M r a n k ( F n ) if M = Q , R , C {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}} コホモロジーの場合 チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う:
定理 ― R 、M を上述の定理 と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C^{*}} を任意のコチェイン複体とすると、
0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ R M ) → β Tor R ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0} が短完全系列 となるα 、β が存在する[12] 。
この短完全系列が C ∗ {\displaystyle C^{*}} 、M に関して自然 である事や分裂 する事も前述の定理 と同様である。
また R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。
M 係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理 上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をM を係数に持つコホモロジー(例えばM を係数にもつ特異コホモロジー )に適用する場合は注意が必要である。
定義 これまで同様R が単項イデアル整域とし、M をR -加群する。R 上のチェイン複体 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、
∂ n ∗ : H o m R ( C n , M ) → H o m R ( C n + 1 , M ) , c ↦ c ∘ ∂ n + 1 {\displaystyle \partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}} と定義すると
∂ n + 1 ∗ ∘ ∂ n ∗ = 0 {\displaystyle \partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0} であるので H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} はコチェイン複体である。 H o m R ( C ∗ , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)} をM に関する C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体 (英 : dual cochain complex )という[12] 。
定義 ―
H n ( C ∗ ; M ) := H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M):=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn 次のM に係数を持つホモロジー加群 という[13] 。 H n ( C ∗ ; M ) := H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M):=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn 次のM に係数を持つコホモロジー加群 という[13] 。 ホモロジーの場合 M に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
H n ( C ∗ ; M ) = H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} H n ( C ∗ ; R ) = H n ( C ∗ ⊗ R R ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})} なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理 の H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} 、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} を単純に置き換える事で、以下の系が従う:
系 ― R 、M を前述の定理 と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C_{*}} を任意のチェイン複体とすると、
0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β Tor R ( H n − 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*};R),M)\to 0} が短完全系列となるα 、β が存在する。
コホモロジーの場合 一方、M を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要 である。実際、 C ∗ := H o m R ( C ∗ , R ) {\displaystyle C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)} としてやると、
H n ( C ∗ ; R ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})} であるが、 H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)} の方は
H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))} であり、コホモロジーの普遍係数定理 における
H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ⊗ R M ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)} とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら2つが等しくなり、M を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる:
定理 ― R 、M を前述の定理 と同様に取り、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR 上のチェイン複体で各n に対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR -加群として自由なものとする。
このときM がR 上有限生成であるかもしくは全てのn に対して H n ( C ∗ ; R ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)} がR 上有限生成であれば、任意のn に対して以下が完全系列 になるα 、β が存在する[14] :
0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β T o r R ( H n + 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\mathrm {Tor} _{R}(H^{n+1}(C_{*};R),M)\to 0} .
Ext に関する普遍係数定理 Ext 関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように 、チェイン複体 C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体 H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、M を係数に持つコホモロジー加群を H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m R ( C ∗ ; M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))} により定義する。
このとき以下の定理がしたがう:
定理 (Ext に関する普遍係数定理 ) ― R を単項イデアル整域 とし、M をR -加群 とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR 上のチェイン複体で各n に対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR -加群として自由なものする。このとき、
0 → Ext R ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列 となるα 、β が存在する。
しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびM に関して自然 である。さらにこの短完全系列は(M に関して自然だが C ∗ {\displaystyle C_{*}} に関しては自然ではなく)分裂 する[15] 。
上述の定理においてα は [ φ ] ∈ H n ( C ∗ ; M ) = H n ( Hom R ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))} に対し、 [ c ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ φ ( c ) ∈ M {\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M} という Hom R ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である[15] 。
R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分F n と捩れ部分群部分 T n {\displaystyle T_{n}} の和で書ける。この事実とExt の性質 を利用すると、以下がわかる:
命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する[16] :
H n ( C ∗ ; Z ) ≈ H o m ( H n ( C ∗ ) ; Z ) ⊕ Ext R ( H n − 1 ( C ∗ ) , Z ) ≈ F n ⊕ T n − 1 {\displaystyle H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}} 上記により Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTor に関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成であれば、上述の普遍係数定理 でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する:
定理 ― R を単項イデアル整域 とし、M をR -加群 とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR 上のチェイン複体で各n に対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR -加群として自由で、しかも H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成R -加群であるものとする。 このとき、
0 → Ext R ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H^{n+1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H^{n}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列 となるα 、β が存在し、この短完全系列は分裂する[17] 。
上述の定理において、α は [ z ] ⊗ m ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)} に対し、 [ f ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ f ( z ) m ∈ M {\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M} という H o m ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である[17] 。
関連項目
脚注 出典 注釈 ^ a b 具体的にはM のR 上の生成元 ( e λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を選び、 A := R Λ = { ( a λ ) λ ∈ Λ ∣ a λ ∈ R , {\displaystyle A:=R^{\Lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in R,} 有限個の λ {\displaystyle \lambda } を除いて a λ = 0 } {\displaystyle a_{\lambda }=0\}} とし、 A → R {\displaystyle A\to R} を ( a λ ) λ ∈ Λ → ∑ λ ∈ Λ a λ e λ {\displaystyle (a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\to \sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\lambda }e_{\lambda }} とし、B をこの写像のカーネル とすればよい。定義から明らかにA はR 上自由である。またR は単項イデアル整域なので、自由加群A の部分加群であるB も自由である。 ^ 最初の0 を除いた A ⊗ R N ⟶ ι ⊗ R 1 N B ⊗ R N ⟶ p ⊗ R 1 N M ⊗ R N ⟶ 0 {\displaystyle A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0} は完全系列である[3] 。 ^ 最後の0 を除いた 0 ⟶ H o m R ( M , N ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , N ) ⟶ ι ∗ H o m R ( A ) {\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)} は完全系列である。[8]
参考文献 引用文献 Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology . Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society . ISBN (978-3037190487 ) 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店 〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN (978-4000078047 )。 James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology . Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN (978-0821821602 ) その他
(Allen Hatcher ), Algebraic Topology , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. (ISBN 0-521-79540-0 ). A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage. (Kainen, P. C. ) (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122 : 1–9. doi :10.1007/bf01113560. 志甫, 淳『層とホモロジー代数』共立出版株式会社〈共立講座 数学の魅力5〉、2016年。ISBN (978-4-320-11160-8 )。
外部リンク Universal coefficient theorem with ring coefficients Mathematics