ホモロジー代数 において、Tor 関手 (英 : Tor functor, torsion functor ) はテンソル積 の関手の導来関手 である。それらは最初一般に代数トポロジー において(Künnethの定理 )(英語版) と普遍係数定理 を表現するために定義された[要出典 ] 。
特に R を環 とし、R -Mod で左 R -加群 の圏 を、Mod -R で右 R -加群の圏を表す[注釈 1] 。R -Mod の加群 B をひとつ選んで固定する。Mod -R の対象 A に対し、T (A ) = A ⊗R B とおく。すると T は Mod -R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手 である[注釈 2] 。そして、その左導来関手 Ln T が定義される。
T o r n R ( A , B ) = ( L n T ) ( A ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)} とおく。すなわち、射影分解
⋯ ⟶ P 2 ⟶ d 2 P 1 ⟶ d 1 P 0 ⟶ ε A → 0 {\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}P_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}P_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\rightarrow 0} をとり A の項を取り除き射影分解に B をテンソルして複体
⋯ ⟶ P 2 ⊗ R B ⟶ d 2 ⊗ 1 P 1 ⊗ R B ⟶ d 1 ⊗ 1 P 0 ⊗ R B ⟶ 0 {\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{2}\otimes _{R}B{\overset {d_{2}\otimes 1}{\longrightarrow }}P_{1}\otimes _{R}B{\overset {d_{1}\otimes 1}{\longrightarrow }}P_{0}\otimes _{R}B\longrightarrow 0} を得る[注釈 3] 。そしてこの複体のホモロジー をとる。
性質 すべての n ≥ 1 に対して、TorR n は Mod -R × R -Mod から Ab への加法的関手 である。R が可換である場合には、Mod -R × Mod -R から Mod -R への加法的関手である。 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短完全列 0 → K → L → M → 0 は次の形の長完全列を誘導する。 ⋯ → T o r 2 R ( M , B ) → T o r 1 R ( K , B ) → T o r 1 R ( L , B ) → T o r 1 R ( M , B ) → K ⊗ R B → L ⊗ R B → M ⊗ R B → 0. {\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{2}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,B)\rightarrow K\otimes _{R}B\rightarrow L\otimes _{R}B\rightarrow M\otimes _{R}B\rightarrow 0.} T o r 1 R ( R / ( r ) , B ) = { b ∈ B : r b = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}} であり、ここから用語 Tor (すなわち Torsion ) が来ている。捩れ部分群 参照。
すべての n ≥ 2 に対して、TorZ n (A , B ) = 0 である。理由:自由アーベル群 の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解 をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと TorZ 1 (Z /k Z , A ) = Ker(f ) である。 さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、F が自由 R -加群であれば、すべての n ≥ 1 に対して TorR n (F, B ) = 0。 Tor 関手は(フィルター余極限 )(英語版) と任意の直和 を保つ。つまり、次の自然同型 が存在する。 T o r n R ( ⨁ i A i , ⨁ j B j ) ≃ ⨁ i ⨁ j T o r n R ( A i , B j ) . {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j}\right)\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j}).} 有限生成アーベル群の分類 から、すべての有限生成アーベル群は Z と Z k のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、A が有限生成であるときにはいつでも TorZ 1 (A , B ) を計算することができる。加群 M ∈ Mod -R が平坦 であることと、TorR 1 (M , – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての n ≥ 1 に対して TorR n (M , – ) = 0 でさえある。実は、TorR n (A, B ) を計算するには、射影分解の代わりに A あるいは B の平坦分解 を使ってもよい[注釈 4] 。
脚注 ^ R が可換環 であればふたつの圏は一致する。 ^ R が可換なときは、Mod -R から Mod -R への右完全関手でもある。 ^ A ⊗R B は現れず最後の射は単に0写像であることに注意せよ。 ^ 射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。
参考文献
関連項目 ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。