古典ハイゼンベルク模型

古典ハイゼンベルク模型（こてんハイゼンベルクもけい、英: classical Heisenberg model, 古典ハイゼンベルクモデル）とは、統計力学に登場するモデル（模型）の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。n ベクトル模型の n = 3 の場合に相当する。

定義

このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

${\displaystyle {\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)}$ 

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)}$ 

ここで係数

${\displaystyle {\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\text{if }}i,j{\text{ are neighbors}}\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$ 

はスピン間の結合係数である。i 番目と j 番目のスピンが隣接していれば J, そうでなければ 0 の値をとる。

性質

ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、(ポッツ模型)（英語版）にて解説する。注記すると、(連続極限) (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\quad (3)}$ 

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分である。ランダウ＝リフシッツ方程式や(石森方程式)（英語版）などのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

1次元

• 長距離相互作用 ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$  の場合、${\displaystyle \alpha >1}$  であれば、熱力学極限は (well defined) である。α ≥ 2 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、1 < α < 2（赤外境界）であれば、充分低い温度で磁性は正となる。

• 短距離相互作用の場合、外場が 0 であれば、自由境界を持つ最近接相互作用のn-ベクトルモデル(n-vector model)の一種であり、単純な厳密解が存在する。

2次元

• 長距離相互作用 ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$  の場合、α > 2 であれば、熱力学極限は well defined である。α ≥ 4 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、2 < α < 4（赤外境界）であれば、十分低い温度で磁性は正となる。

• ポリヤコフは、古典XYモデルの反対として、任意の ${\displaystyle T>0}$  に対し(双極相)（英語版）(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する^[1]。

3次元とそれ以上の次元

相互作用のレンジとは独立に、十分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。

参考文献

1. ^ Polyakov, A.M. (1975). “Interaction of goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields”. Phys. Lett. B 59. Bibcode: 1975PhLB...59...79P. doi:10.1016/0370-2693(75)90161-6. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370269375901616. 

• 西森秀稔『相転移・臨界現象の統計物理学』培風館、2005年。 

関連項目

• (量子ハイゼンベルク模型)（英語版）
• イジング模型
• XY模型
• (nベクトル模型)（英語版）
• 磁性
• 強磁性
• ランダウ＝リフシッツ方程式
• (石森方程式)（英語版）

外部リンク

• Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models
• The Heisenberg Model - a Bibliography
• Monte-Carlo simulation of the Heisenberg, XY and Ising models with 3D graphics (requires WebGL compatible browser)