ベータ分布

ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。

第1種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状母数 (実数) ${\displaystyle \beta >0}$ 形状母数 (実数)
台	${\displaystyle [0,1]}$
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}}$ （B はベータ関数）
累積分布関数	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ は正則化された不完全ベータ関数
期待値	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$ （ψはディガンマ関数）
中央値	${\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}}$
最頻値	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ for ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$
分散	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$ （ψ1 はトリガンマ関数）
歪度	${\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
尖度	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
エントロピー	${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$
モーメント母関数	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
特性関数	${\displaystyle {}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$（(Confluent hypergeometric function)を参照）
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第1種ベータ分布

第1種ベータ分布（英: beta distribution of the first kind）の確率密度関数は以下で定義される。

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}}$ 

ここで B(α, β) はベータ関数であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ α, β はともに正の実数である。期待値は α/α + β、分散は ${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$  である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。

${\displaystyle f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))}$ 

ただし ${\displaystyle h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))}$  である。

累積分布関数

累積分布関数は、以下の式で与えられる。

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}$ 

ここで、 ${\displaystyle \int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}$  は、不完全ベータ関数であり、 ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$  は、正則化不完全ベータ関数である。

第2種ベータ分布

詳細は「第2種ベータ分布」を参照

一般化ベータ分布

a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布（英: generalized beta distribution）という。

${\displaystyle GB(x;a,b,c,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b)^{a})^{p+q}}}\quad \quad {\text{ for }}0<x^{a}<{\frac {b^{a}}{1-c}},}$ 

一般化第1種ベータ分布

c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布（英: generalized beta of first kind）という。

${\displaystyle GB1(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=0,p,q).}$ 

${\displaystyle GB1(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}}$ 

一般化第2種ベータ分布

c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta of second kind）という。台は ${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$  。

${\displaystyle GB2(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=1,p,q).}$ 

${\displaystyle GB2(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b)^{a})^{p+q}}}}$ 

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ関数
• ガンマ分布
• ディリクレ分布

外部リンク

• GSL reference manual Japanese version