ハンセン–ジャガナサン境界 (ハンセン–ジャガナサンきょうかい、英 : Hansen–Jagannathan bound )とは、金融経済学 とマクロ経済学 において金融資産 の資産価格モデルにおける確率的割引ファクター (英 : stochastic discount factor )の分散 の下限を決定する理論である。1991年 にラース・ハンセン と(ラビ・ジャガナサン )(英語版) により発表された[1] 。一般的な資産価格モデルのほとんどに適用可能なため、資産価格モデルの妥当性を確かめるために用いられる。
概要 金融資産 i {\displaystyle i} の時点 t {\displaystyle t} における価格 p i , t {\displaystyle p_{i,t}} が次の方程式で決定されるとする。
p i , t = E t [ m t + 1 ( p i , t + 1 + d i , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{i,t}=E_{t}[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})]} ただし、 d i , t + 1 {\displaystyle d_{i,t+1}} は時点 t + 1 {\displaystyle t+1} において金融資産 i {\displaystyle i} を保持していることによる利益(インカム・ゲイン のことで、例えば株式 なら配当 、債券 ならクーポンなど)で、 E t {\displaystyle E_{t}} は時点 t {\displaystyle t} までの情報による条件付き期待値 である。 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} は時点 t + 1 {\displaystyle t+1} における、全ての金融資産に共通の確率的割引ファクター である。
ここで、金融市場 に存在する全てのリスクのある金融資産のグロスのトータルリターン p i , t + 1 + d i , t + 1 p i , t {\displaystyle {\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{p_{i,t}}}} を並べたベクトルを R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} とする。すると次の不等式が成り立つ。
V a r t ( m t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})\geq {\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} ここで、 V a r t ( m t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})} は確率的割引ファクター m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} の条件付き分散 、 V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})} はリターンベクトルの条件付き分散共分散行列、 1 {\displaystyle \mathbf {1} } は全ての要素が1であるベクトルであり、 ′ {\displaystyle \prime } はベクトルの転置を表す。この不等式の右辺を指してハンセン–ジャガナサン境界 と呼ぶ[1] [2] 。
ここで E t [ m t + 1 ] {\displaystyle E_{t}[m_{t+1}]} が0ではないと仮定すると、安全資産のグロスの利子率 を R f , t + 1 {\displaystyle R_{\mathrm {f} ,t+1}} とした時、
R f , t + 1 = 1 E t [ m t + 1 ] {\displaystyle R_{\mathrm {f} ,t+1}={\frac {1}{E_{t}[m_{t+1}]}}} であるので、ハンセン–ジャガナサン境界の両辺を ( E t [ m t + 1 ] ) 2 {\displaystyle {\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}} で割ることで次の表現が得られる。
V a r t ( m t + 1 ) ( E t [ m t + 1 ] ) 2 ≥ ( E t [ R t + 1 − R f , t + 1 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( E t [ R t + 1 − R f , t + 1 1 ] ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}{{\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}}}\geq {\Big (}E_{t}[R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} ]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}E_{t}[R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} ]{\Big )}} 金融資産の超過リターンベクトルを r t + 1 e {\displaystyle r_{t+1}^{e}} とすれば、 r t + 1 e = R t + 1 − R f , t + 1 1 {\displaystyle r_{t+1}^{e}=R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} } かつ V a r t ( r t + 1 e ) = V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(r_{t+1}^{e})=\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})} なので結局、
V a r t ( m t + 1 ) ( E t [ m t + 1 ] ) 2 ≥ ( E t [ r t + 1 e ] ) ′ ( V a r t ( r t + 1 e ) ) − 1 ( E t [ r t + 1 e ] ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}{{\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}}}\geq {\Big (}E_{t}[r_{t+1}^{e}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(r_{t+1}^{e}){\Big )}^{-1}{\Big (}E_{t}[r_{t+1}^{e}]{\Big )}} という表現も可能になる。
またハンセン–ジャガナサン境界は無条件の期待値と分散についても成立する。ここで、 ( E [ r t + 1 e ] ) ′ ( V a r ( r t + 1 e ) ) − 1 ( E [ r t + 1 e ] ) {\displaystyle {\Big (}E[r_{t+1}^{e}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} (r_{t+1}^{e}){\Big )}^{-1}{\Big (}E[r_{t+1}^{e}]{\Big )}} は(接点ポートフォリオ )のシャープ・レシオ の2乗であり、接点ポートフォリオはシャープ・レシオを最大化するポートフォリオでもあるので、
V a r ( m t + 1 ) ( E [ m t + 1 ] ) 2 ≥ max p S p 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {Var} (m_{t+1})}{{\Big (}E[m_{t+1}]{\Big )}^{2}}}\geq \max _{p}S_{p}^{2}} とも書ける。ただし、 S p {\displaystyle S_{p}} はポートフォリオ p {\displaystyle p} のシャープ・レシオである。等号成立は確率的割引ファクターが何らかのポートフォリオのリターンの線形結合として表現できる時のみであり、CAPM などがそれにあたる。
ハンセン–ジャガナサン距離 ハンセン–ジャガナサン距離 (英 : Hansen–Jagannathan distance )とは、確率的割引ファクターの特定化の誤りの程度を表す一つの指標である[3] 。次の確率変数を定義する。
m t + 1 ∗ = 1 ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 R t + 1 {\displaystyle m_{t+1}^{*}={\mathbf {1} }^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}R_{t+1}} また、想定しているモデルの確率的割引ファクターをパラメーター θ {\displaystyle \theta } に依存するものとして m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} と表す。さらに次を定義する。
m ^ t + 1 θ = ( E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 R t + 1 {\displaystyle {\widehat {m}}_{t+1}^{\theta }={\Big (}E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}R_{t+1}} この時、ハンセン–ジャガナサン距離 H J D {\displaystyle HJD} は以下のように定まる[4] 。
H J D = E t [ ( m t + 1 ∗ − m ^ t + 1 θ ) 2 ] = ( 1 − E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) {\displaystyle HJD={\sqrt {E_{t}[(m_{t+1}^{*}-{\widehat {m}}_{t+1}^{\theta })^{2}]}}={\sqrt {{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}}}} もし、あるパラメーター θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} において 1 = E t [ m t + 1 θ 0 R t + 1 ] {\displaystyle \mathbf {1} =E_{t}[m_{t+1}^{\theta _{0}}R_{t+1}]} となるのであれば、つまり、 m t + 1 θ 0 {\displaystyle m_{t+1}^{\theta _{0}}} が真の確率的割引ファクターであるのならば、 m t + 1 ∗ − m ^ t + 1 θ 0 = 0 {\displaystyle m_{t+1}^{*}-{\widehat {m}}_{t+1}^{\theta _{0}}=0} であるので、 H J D = 0 {\displaystyle HJD=0} が成り立つ。
ハンセン–ジャガナサン距離は
H J D = min m t + 1 E t [ ( m t + 1 θ − m t + 1 ) 2 ] {\displaystyle HJD=\min _{m_{t+1}}{\sqrt {E_{t}[(m_{t+1}^{\theta }-m_{t+1})^{2}]}}} subject to E t [ m t + 1 R t + 1 ] = 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=\mathbf {1} } という形で表現でき、 E t [ m t + 1 R t + 1 ] = 1 {\displaystyle E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=\mathbf {1} } を満たす m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} の中で m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} と最も近いものと m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} との距離を表している[3] 。
歴史と応用 ハンセン–ジャガナサン境界の原型となる不等式はロバート・シラー によって1982年 にもたらされている[5] 。ハンセンとジャガナサンはそれを一般化した形で1991年 にハンセン–ジャガナサン境界を提示した[1] 。ハンセンとジャガナサンは、経済学で通常用いられる時間について加法分離的な(相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数 )を想定した場合の確率的割引ファクターはハンセン–ジャガナサン境界の不等式を満たしていないことを実際のデータを使って実証した。この実証結果はエクイティプレミアムパズル の結果[6] と整合的であると彼らは結論付けている[1] 。
ハンセン–ジャガナサン境界の導出 リスク資産が一つである場合 リスク資産が一つであるならば、そのグロスのトータルリターンを R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} として
1 = E t [ m t + 1 R t + 1 ] = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle 1=E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + V a r t ( m t + 1 ) V a r t ( R t + 1 ) C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle =E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} となる。よって相関係数 C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} が-1以上1以下であることに注意すれば、
V a r t ( m t + 1 ) = 1 ( C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) ) 2 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})={\frac {1}{{\Big (}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big )}^{2}}}{\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\geq {\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}} となる。特に両辺を E t [ m t + 1 ] {\displaystyle E_{t}\left[m_{t+1}\right]} の2乗で割り、平方根 を取れば、 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} が非負の時、
V a r t ( m t + 1 ) E t [ m t + 1 ] ≥ | E t [ R t + 1 − R f , t + 1 ] V a r t ( R t + 1 − R f , t + 1 ) | {\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\geq {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{t+1}-R_{f,t+1}\right]}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}-R_{f,t+1})}}}{\Big |}} となる。右辺はシャープ・レシオの絶対値である[7] 。
リスク資産が複数である場合 確率的割引ファクター m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} の定数とリターンベクトル R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} に対する直交射影 を考えると、
m t + 1 = E t [ m t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( R t + 1 − E t [ R t + 1 ] ) + ϵ t + 1 {\displaystyle m_{t+1}=E_{t}[m_{t+1}]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}R_{t+1}-E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}+\epsilon _{t+1}} が成立する。ただし E t [ ϵ t + 1 ] = 0 {\displaystyle E_{t}[\epsilon _{t+1}]=0} かつ E t [ R t + 1 ϵ t + 1 ] = 0 {\displaystyle E_{t}[R_{t+1}\epsilon _{t+1}]=0} である。ここで
m t + 1 ∗ = E t [ m t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( R t + 1 − E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle m_{t+1}^{*}=E_{t}[m_{t+1}]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}R_{t+1}-E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} とすれば
V a r t ( m t + 1 ) = V a r t ( m t + 1 ∗ ) + V a r t ( ϵ t + 1 ) ≥ V a r t ( m t + 1 ∗ ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})=\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})+\mathrm {Var} _{t}(\epsilon _{t+1})\geq \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})} である。さらに C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) = E t [ m t + 1 R t + 1 ] − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] = 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] {\displaystyle \mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})=E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]-E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]=\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]} なので結局
V a r t ( m t + 1 ∗ ) = ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})={\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} となる。よって
V a r t ( m t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})\geq {\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} が得られる[2] 。
脚注
参考文献 Cochrane, John H. (2005), Asset Pricing (2 ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN (9780691121376 ) Ferson, Wayne E. (2003), “Tests of Multifactor Pricing Models, Volatility Bounds and Portfolio Performance”, in Constantinides, George M.; Harris, Milton; Stulz, René M., Handbook of the Economics of Finance 1 , Elsevier, pp. 743-802, doi :10.1016/S1574-0102(03)01021-5, ISBN (9780444513632 ) Hansen, Lars P. ; Jagannathan, Ravi (1991), “Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies”, Journal of Political Economy 99 (2): 225-262, doi :10.1086/261749, JSTOR 2937680, https://jstor.org/stable/2937680 Hansen, Lars P. ; Jagannathan, Ravi (1997), “Assessing Specification Errors in Stochastic Discount Factor Models”, The Journal of Finance 52 (2): 557–590, doi :10.1111/j.1540-6261.1997.tb04813.x, JSTOR 2329490, https://jstor.org/stable/2329490 Mehra, Rajnish; Prescott, Edward C. (1985), “The Equity Premium: A Puzzle”, Journal of Monetory Economics 15 (2): 145-161, doi :10.1016/0304-3932(85)90061-3 Shiller, Robert J. (1982), “Consumption, Asset Markets and Macroeconomic Fluctuations”, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 17 : 203-238, doi :10.1016/0167-2231(82)90046-X
関連項目