数学 において、グレイシャー・キンケリンの定数 (Glaisher–Kinkelin constant )、またはグレイシャーの定数 は、K関数 やバーンズのG関数 に関連する数学定数 であり、通常A とかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数 などに関係する多くの和や積分 に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者である(ジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャー )（英語版） と(ヘルマン・キンケリン )（英語版） である。
グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。
A ≈ 1.2824271291 … {\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots } オンライン整数列大辞典 の数列 (A074962 ).
定義 グレイシャー・キンケリンの定数 A {\displaystyle A}
A = lim n → ∞ K ( n + 1 ) n n 2 / 2 + n / 2 + 1 / 12 e − n 2 / 4 {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}} の極限 である。ここで、 K ( n ) = ∏ k = 1 n − 1 k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}} K関数 である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似 との類似性が見つかる。
2 π = lim n → ∞ n ! e − n n n + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{e^{-n}n^{n+{\frac {1}{2}}}}}} πは階乗 ∏ k = 1 n k {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k} A は階乗の類似物であるK関数 K ( n ) = ∏ k = 1 n k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}}
バーンズのG関数、 G ( n ) = ∏ k = 1 n − 2 k ! = [ Γ ( n ) ] n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} ガンマ関数 )を用いた、以下のような式もある。
A = lim n → ∞ ( 2 π ) n / 2 n n 2 / 2 − 1 / 12 e − 3 n 2 / 4 + 1 / 12 G ( n + 1 ) {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}} グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分 の特定の値の評価に現れる。
ζ ′ ( − 1 ) = 1 12 − ln A {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A} ∑ k = 2 ∞ ln k k 2 = − ζ ′ ( 2 ) = π 2 6 [ 12 ln A − γ − ln ( 2 π ) ] {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]} ここで、 γ {\displaystyle \gamma } オイラーの定数 である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。
∏ k = 1 ∞ k 1 k 2 = ( A 12 2 π e γ ) π 2 6 . {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.} 以下は、この定数を含むいくつかの積分である。
∫ 0 1 / 2 ln Γ ( x ) d x = 3 2 ln A + 5 24 ln 2 + 1 4 ln π {\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi } ∫ 0 ∞ x ln x e 2 π x − 1 d x = 1 2 ζ ′ ( − 1 ) = 1 24 − 1 2 ln A {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A} この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセ により与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。
ln A = 1 8 − 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) 2 ln ( k + 1 ) {\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}
参考文献 Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv :(math.NT/0506319 ) 。 Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi :10.1007/s11139-007-9102-0. Weisstein, Eric W . "Glaisher–Kinkelin Constant ". MathWorld Weisstein, Eric W . "Riemann Zeta Function ". MathWorld
関連項目
外部リンク The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。
