この項目では、オイラーのγについて説明しています。自然対数の底については「ネイピア数 」を、整数列については「オイラー数 」をご覧ください。
オイラーの定数 (オイラーのていすう、英 : Euler’s constant )は、数学定数 の1つで、以下のように定義される。
γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ( n ) ) = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x {\displaystyle \gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}
オイラー・マスケローニ定数 (英 : Euler-Mascheroni constant )[1] 、オイラーのγ (英 : Euler's gamma ) とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号 C を用いた。γ を用いたのはロレンツォ・マスケローニ である[2] 。
この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。
オイラーの定数は超越数 であろうと予想 されている。しかしながら、無理数 であるかどうか、および、円周率 π {\displaystyle \pi } との関係性も、数学上の未解決問題 の一つである。
調和級数との関係 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} 上式は調和級数 と呼ばれる。調和級数が発散 するという事実は、今日においては微分積分学 の初歩であるが、古くは収束 すると考えられていた。
調和級数が発散することの証明を最初に行ったのは、14世紀のパリ大学のニコル・オレーム であるが、これには誤りがあり、正しい証明が得られたのは17世紀になってからである。その後ゴットフリート・ライプニッツ などは有限項の調和級数の近似式 に関心をもつなど17世紀においても数学的な関心を集めていた。
有限項の調和級数の近似式への関心から、レオンハルト・オイラー は調和級数の増え方が極限 において対数関数 に等しいことを証明した。つまり、調和級数と対数関数との差はある定数に収束し、それがのちにオイラーの定数と呼ばれるようになった。オイラーはこの値を小数第6位まで求めた。その後、ロレンツォ・マスケローニが第32位まで求め(ただし、正しかったのは第20位まで)、γ の記号で表した[2] 。
ガンマ関数との関係 大文字のガンマ Γ で表されるガンマ関数 と小文字のガンマ γ で表されるオイラーの定数は共にオイラーによって与えられたものであるが、オイラー自身は前者のガンマ関数を階乗 (factorial) と呼んでいる。ガンマ関数の記号はアドリアン=マリ・ルジャンドル に始まり、オイラーの定数の記号はマスケローニに始まるものである[2] 。オイラーの定数の記号がガンマ関数に由来するものであったのか、今となっては確かめようがないが、オイラーの定数がガンマ関数に関係しているということは確かである。すなわち、ガンマ関数の乗積表示
Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}}
に対し、その対数微分であるディガンマ関数
Ψ ( z ) = d d z log Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = lim n → ∞ ( log n − ∑ k = 0 n 1 z + k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&={\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(\log {n}-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right)\end{aligned}}}
に z = 1 {\displaystyle z=1} を代入すると
Ψ ( 1 ) = Γ ′ ( 1 ) = lim n → ∞ ( log n − ∑ k = 0 n 1 1 + k ) = lim n → ∞ ( − γ − 1 1 + n ) = − γ {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (1)=\Gamma '(1)&=\lim _{n\to \infty }\left(\log {n}-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(-\gamma -{\frac {1}{1+n}}\right)\\&=-\gamma \\\end{aligned}}}
を得る。
積分表示 オイラーの定数の値は以下の定積分で与えられる。
γ = − Γ ′ ( 1 ) = − ∫ 0 ∞ log t e − t d t = − ∫ 0 1 log log 1 u d u ( u = e − t ) = − ∫ − ∞ ∞ u e u − e u d u ( u = log t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\Gamma '(1)\\&=-\int _{0}^{\infty }\log {t}e^{-t}dt\\&=-\int _{0}^{1}\log \log {\frac {1}{u}}du\qquad (u=e^{-t})\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }ue^{u-e^{u}}du\qquad (u=\log {t})\\\end{aligned}}}
あるいは
log t = ∫ 1 t 1 s d s = ∫ 1 t ∫ 0 ∞ e − s u d u d s = ∫ 0 ∞ ∫ 1 t e − s u d s d u = ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u {\displaystyle {\begin{aligned}\log {t}&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{s}}ds\\&=\int _{1}^{t}\int _{0}^{\infty }e^{-su}duds\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{t}e^{-su}dsdu\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\\\end{aligned}}}
を用いれば
γ = − ∫ 0 ∞ log t e − t d t = − ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − t u − e − u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − t ( u + 1 ) u d t − ∫ 0 ∞ e − u e − t u d t ) d u = ∫ 0 ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }\log {t}e^{-t}dt\\&=-\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-tu}-e^{-u}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t(u+1)}}{u}}dt-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}e^{-t}}{u}}dt\right)du\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\\end{aligned}}}
となり、更に δ → + 0 {\displaystyle \delta \to +0} のときに
| ∫ δ e δ − 1 1 u ( u + 1 ) d u | ≤ | ∫ δ e δ − 1 1 δ d u | = O ( δ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{u(u+1)}}du\right|&\leq \left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{\delta }}du\right|\\&=O(\delta )\\\end{aligned}}}
であるから
γ = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ e δ − 1 ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e t ( e t − 1 ) e t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s ( u = e t − 1 ) = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e − t 1 − e − t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s = ∫ 0 ∞ ( e − t 1 − e − t − e − t t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{e^{\delta }-1}^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{t}}{(e^{t}-1)e^{t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\qquad (u=e^{t}-1)\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}-{\frac {e^{-t}}{t}}\right)dt\end{aligned}}}
となる。
級数表示 オイラーの定数の値は以下の級数で得られる.
γ = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) n {\displaystyle \gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{n}}}
γ = 1 − ∑ n = 2 ∞ ζ ( n ) − 1 n {\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}}
γ = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(\zeta (n)-1)}{n}}}
γ = ln 2 − ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n + 1 ) 2 2 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \gamma =\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)}{2^{2n}(2n+1)}}}
γ = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln Γ ( m + 1 m ) , { m ∣ m ∈ R ∖ { 0 , − 1 , − 1 k + 1 } } w h e r e { k ∣ k ∈ Z ∖ { − 1 } } {\displaystyle \gamma =\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right),\quad \{m\mid m\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-{\dfrac {1}{k+1}}\}\}\,\mathrm {where} \,\{k\mid \,k\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\}\}}
γ = lim m → 0 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow 0}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)} [3]
γ = lim m → − 1 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow -1}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)} [4]
γ = lim m → ( − 1 ) / ( k + 1 ) ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln Γ ( m + 1 m ) ) , { k ∣ k ∈ Z ∖ { − 1 } } {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow (-1)/(k+1)}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right),\quad \{\,k\,\mid \,k\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\}\}} [5]
γ = 3 2 − ln 2 − ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ( n − 1 ) ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(n-1)(\zeta (n)-1)}{n}}}
γ = 1 − ln 2 + ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ( ζ ( n ) − 1 ) n {\displaystyle \gamma =1-\ln 2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(\zeta (n)-1)}{n}}}
等々.
脚注 [脚注の使い方 ]
^ Weisstein ^ a b c Jeff Miller, Earliest Uses of Various Mathematical Symbols ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> 0]=EulerGamma ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> -1]=EulerGamma ^ Limit[Sum[(-1)^n Zeta[n]/(m^(n - 1)n), {n, 2, Infinity}] - m Log[Gamma[(m + 1)/m]], m -> -1/(k+1)]=EulerGamma
参考文献 Dunham, William (1999), Euler, The Master of Us All , Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 22 (Paperback ed.), Mathematical Association of America, ISBN (978-0-88385-328-3 ), https://books.google.com/books?id=x7p4tCPPuXoC - Chapter 2 Havil, Julian (2009-07-06), Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton Science Library (Paperback ed.), Princeton University Press, ISBN (978-0-691-14133-6 ), https://books.google.com/books?id=lQX6Oy_SuOgC 真実のみを記す会『オイラー定数1000000桁表』暗黒通信団 、2009年。(ISBN 978-4-87310-053-1 )。
外部リンク ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。