カタラン予想

カタラン予想（ -よそう、英: Catalan's conjecture）とは、1844年にベルギー人の数学者・(ウジェーヌ・シャルル・カタラン)（英語版）が提示した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた^[1]。2005年に、自身で証明を簡素化した^[2]。

予想の内容

次の不定方程式について、

x^a − y^b = 1

x, a, y, b > 1

上記を満たす自然数解の組み合わせは

x = 3, a = 2, y = 2, b = 3

だけであるというものである。

歴史

この問題の歴史は、少なくともゲルソニデスにまでさかのぼる。ゲルソニデスは1343年に、この予想の特殊なケースとして (x, y) が (2, 3) または (3, 2) の場合を証明した。1850年にヴィクトル・アメデ・レベスグが b =2 の場合を扱ったのが、カタランが予想を立ててから最初の重要な進歩であった^[3]。

1976年、 (ロバート・タイデマン)（英語版）は超越数論のベイカーの方法を適用して a, b の境界を定め、 x, y を a, b で制限する既存の結果を用いて、 x, y, a, b の有効な上限を与えた。ミシェル・ランゲビンはこの上限を $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ と計算した^[4]。これにより、有限の数の場合を除いてカタラン予想が解決された。それにもかかわらず、定理を証明するために必要な有限の計算は、時間がかかりすぎるものであった。

カタラン予想は、2002年4月にプレダ・ミハイレスクによって証明され、2004年の Journal für die reine und angewandte Mathematik に掲載された。この証明は円分体とガロワ加群の理論を多用している。証明の解説は、セミネール・ブルバキのユーリ・ビルが行っている^[5]。2005年、ミハレスクは簡略化された証明を公開した^[6]。

一般化

すべての自然数 n に対して、差が n となる累乗数のペアは有限にしか存在しないと考えられている。以下のリストで、 n ≤ 64 に対する10¹⁸未満の累乗数について全ての解を示す（(A076427)）。最小解（ > 0）は(A103953) を参照せよ。

n	解の個数	k と k + n がいずれも累乗数となる数 k	n	解の個数	k と k + n がいずれも累乗数となる数 k
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	none
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14348907
6	0	none	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	none
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	none	46	1	243
15	3	1, 49, 1295029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343	50	0	none
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343	58	0	none
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	none
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

ピライの予想

数学の未解決問題
各正の整数が累乗数の差として現れる回数は高々有限回か？

ピライの予想（英: Pillai's conjecture）は、累乗数（オンライン整数列大辞典の数列 (A001597)）の一般的な違いに関するものである。これは、(スバッヤ・ピライ)（英語版）が最初に提示した未解決問題であり、累乗数の列の差は無限大になる傾向があるという予想である。この予想は、各正の整数が累乗数の差として有限回しか現れないと言い換えられる。より一般に、1931年に、ピライは、固定された正の整数 A, B, C に対して、方程式 $Ax^{n}-By^{m}=C$ は有限の数の解 (x, y, m, n) しか持たないことを予想した。ただし、解は (m, n) ≠ (2, 2) とする。ピライは、1未満の λ について、差 $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ は m と n で均一になることを証明した^[7]。

この一般化された予想はABC予想から導かれると考えられている^[7]^[8]。

ポール・エルデシュは、いくつかの正の定数 c とすべての十分に大きな n に対して、累乗数の昇順列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ が $a_{n+1}-a_{n}>n^{c}$ を満たすと予想した^[要出典]。

外部リンク

Ivars Peterson's MathTrek
Weisstein, Eric W. "Catalan's conjecture". MathWorld (英語).
On difference of perfect powers
Jeanine Daems:

参考文献

Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”, (Astérisque) 294: vii, 1–26, MR2111637
Catalan, Eugene (1844), “Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur” (フランス語), J. Reine Angew. Math. 27: 192, doi:10.1515/crll.1844.27.192, MR1578392, https://zenodo.org/record/1448842
Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [A proof of the Catalan conjecture]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (フランス語). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. pp. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0。
Metsänkylä, Tauno (2003). Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.
Metsänkylä, Tauno (2004), “Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved”, (Bulletin of the American Mathematical Society) 41 (1): 43–57, doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5, MR2015449
(Mihăilescu, Preda) (2004), “Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”, J. Reine Angew. Math. 2004 (572): 167–195, doi:10.1515/crll.2004.048, MR2076124
Mihăilescu, Preda (2005), “Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture”, European Congress of Mathematics (Zurich: Eur. Math. Soc.): 325-340, MR2185753
(Ribenboim, Paulo) (1994), Catalan's Conjecture, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN (0-12-587170-8), MR1259738 Predates Mihăilescu's proof.
(Tijdeman, Robert) (1976), “On the equation of Catalan”, (Acta Arith.) 29 (2): 197–209, doi:10.4064/aa-29-2-197-209, MR0404137
T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.

脚注

[脚注の使い方]

^ Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。
^ REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF OF CATALAN'S CONJECTURE(英語)
^ (Victor-Amédée Lebesgue) (1850), “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1”, Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série 9: 178–181
^ (Ribenboim, Paulo) (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, p. 236, ISBN (0-387-90432-8), Zbl 0456.10006
^ Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture”, Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, 294, pp. 1–26
^ Mihăilescu 2005
^ ^a ^b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, pp. 253–254, ISBN (978-0-857-29531-6)
^ (Schmidt, Wolfgang M.) (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd ed.), Springer-Verlag, p. 207, ISBN (3-540-54058-X), Zbl 0754.11020

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