円分体

円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の $m(>2)$ 乗根 $\textstyle \zeta (\neq \pm 1)$ を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 $\zeta _{n}=e^{2\pi i/n}$ とする。

性質

3 以上の整数 m に対して、円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})$ の(拡大次数) $\textstyle [\mathbb {Q} (\zeta _{m}):\mathbb {Q} ]$ は、 $\textstyle \varphi (m)$ である。但し、 $\textstyle \varphi (n)$ はオイラー関数である。
任意の円分体は、(ガロア拡大体)であり、ガロア群は、アーベル群である。
3 以上の整数 m に対して、 $\textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}$ ( $\textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}$ は、相異なる素数、 $\textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)$ と素因数分解すると、

\mathbb {Q} (\zeta _{m})

は、

\mathbb {Q} (\zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),\ldots ,\ \mathbb {Q} (\zeta _{p_{r}^{e_{r}}})

の(合成体)であり、

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times }\times \cdots \times (\mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}\mathbb {Z} )^{\times }

が成立する。また、円分体

\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})

で分岐する有理素数^{[注釈 1]}は、

\textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}

に限る。

$\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})$ である。この $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})$ を、最大実部分体または実円分体という。
一意分解整域となる円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})$ $\textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}$ )^{[注釈 2]}は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
- 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ は一意分解整域でない。
(類数)が 2 である円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})$ $\textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}$ ) は、m = 39, 56 だけである。
円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})$ に含まれる代数的整数の集合は、 $\textstyle \mathbb {Z} [\zeta _{m}]$ である。

円分体の判別式

m を 3 以上の整数として、円分体を $\textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})$ とする。

(1) m が素数のとき

K の(判別式)は、 $(-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}$ である。

(2) $m=p^{h}$ (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、 $\textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}$ である。但し、

\varepsilon ={\begin{cases}-1&(p=h=2,{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {4}}),\\+1&(p=2,\,h\geqq 3,{\mbox{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}}).\end{cases}}

(3) $\textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}$ ( $\textstyle r\geqq 2,\ p_{1},\ldots ,\ p_{r}$ は相異なる素数、 $\textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)$ であるときには

円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{e_{i}}})$ の判別式を $D_{i}$ とすると、 K の判別式は、

\prod _{i=1}^{r}D_{i}^{\varphi (m)/\varphi (p_{i}^{e_{i}})}

である。

アーベル拡大体の埋め込み

詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照

クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 $\textstyle m\geqq 3$ が存在して、

K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{m})

となる。

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論

フェルマーの最終定理

素数 p に対して、

x^{p}+y^{p}=z^{p}

の左辺を、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 上で分解すると、

(x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}

となる。ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 $p=23$ のとき、それが成立しないことを示した。そのため、 $p=23$ (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

素数 p は、円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の単数 ε を、 $\textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})$ となる有理整数 a が存在するようにとると、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の単数 $\textstyle \varepsilon _{0}$ が存在して、 $\textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}$ と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した^{[注釈 3]}。さらに、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})$ 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数

円分体の類数の性質

以下において、p を奇素数とする。

円分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})$ の類数を $h(m)$ 、最大実部分体 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})$ の類数を $h_{2}(m)$ とすると、 $h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)$ ( $h_{1}(m)$ は有理整数)と表すことができる。このとき、 $h_{1}(m)$ を第1因子または相対類数、 $h_{2}(m)$ を第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

素数 p に対して、p が $h(p)$ を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。

つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。

この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。

素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 $p^{2}$ が、 $\textstyle \sum _{j=1}^{p-1}j^{2k}$ を割り切る様な整数 k $\textstyle (1\leqq k\leqq (p-3)/2)$ が存在することである。
$h_{1}(p)$ が奇数であるならば、 $h_{2}(p)$ は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、 $\textstyle \lim _{p\to \infty }h_{1}(p)/\gamma (p)=1$ と予想した。但し、 $\textstyle \gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi ^{(p-1)/2})$ 。^{[注釈 4]}

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

\lim _{p\to \infty }{\frac {\log(h_{1}(p)/\gamma (p))}{\log p}}=0

。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

q を素数とし、 $n>1$ とする。 $p=(2qm)^{2}+1$ が素数であるならば、 $h_{2}(p)>2$ である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は $h_{2}(p)$ を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である^[2]。

円分体の類数公式

円分体の類数を求めるには、 $h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)$ より、第1因子と第2因子を求めればよい。^{[注釈 5]}

第1因子
- $h_{1}(m)={\frac {\delta }{(2m)^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n$ 。

ここで、

\delta ={\begin{cases}1&(m\not \equiv 0{\pmod {4}}),\\{\frac {1}{2}}&(m\equiv 0{\pmod {4}}),\end{cases}}

S は、

\chi (-1)=-1

を満たす、法 m に関する指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

$h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}\left|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k\right|$ 。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

$h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(\eta )G(\eta ^{2})\cdots G(\eta ^{p-2})|$

ここで、η は、1 の原始

p-1

乗根とし、

\textstyle G(X)=\sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}

。

但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、

\textstyle j=0,1,\ldots ,p-2

に対して、

\textstyle 1\leqq g_{j}\leqq p-1

は、

\textstyle g^{j}\equiv g_{j}\ (\operatorname {mod} \ p)

を満たす正整数とする。

p の倍数ではない整数 r に対して、 $\textstyle 1\leqq R(r)\leqq p-1$ を、 $\textstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname {mod} \ p)$ を満たすようにとる。

また、

\textstyle 1\leqq r'\leqq p-1

を、

\textstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)

を満たすようにとる。

M_{p}=(R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots ,(p-1)/2}

^{[注釈 6]}とおくと、

h_{1}(p)={\frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|\det M_{p}|

である。

第2因子
- $h_{2}(m)={\frac {2^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}{R}}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[{\frac {m-1}{2}}]}\chi (n)\log |1-\zeta _{m}^{n}|$ 。

ここで、R は、

\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})

の(単数基準)、T は、

\chi (-1)=1

を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

$h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}\eta ^{2k^{j}}\log |1-\zeta _{p}^{g^{j}}|\right|$ 。

ここで、η は、1 の原始

p-1

乗根、g は、法 p に対する原始根とする。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

$\textstyle k=2,3,\ldots ,(p-1)/2$ に対して、 $\delta _{k}={\sqrt {\textstyle {\frac {(1-\zeta _{p}^{k})(1-\zeta _{p}^{-k})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}}$ ^{[注釈 7]} とおく。

g を法 p に関する原始根とし、

\delta =\delta _{g}

とおく。

また、σ を、

\textstyle \sigma (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{g}

を満たす、

\textstyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )

の生成元とする。

M=(\log \sigma ^{i+j}(\delta ))_{i,j=0,1,\ldots ,(p-5)/2}

とおくと、

h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|\det M|

。

但し、R は、

\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})

の単数基準とする。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 有理整数である素数のこと。
^ $m=4k+2$ としたとき、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})=\mathbb {Q} (\zeta _{2k+1})$ であるので、 $\textstyle m\not \equiv 2{\pmod {4}}$ としてよい。
^ この証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明)^[1]
^ $\textstyle h_{1}(p)=\gamma (p)\prod _{\chi \in S}L(1,\chi )$ が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。
^ 実際は、円分体に対して、直接(類数公式)で求めるのが普通である。
^ マイレ(Maillet)の行列という。
^ 各 δ_k は、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。

出典

^ 倉田 1992, p. ii.
^ 足立 2006.

参考文献

足立恒雄『フェルマーの大定理　整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫ア24‐1 Math ＆ Science〉、2006年9月。ISBN (978-4-480-09012-6)。
ガウス, J. C. F. 著、高瀬正仁訳『ガウス数論論文集』筑摩書房〈ちくま学芸文庫カ33-1 Math ＆ Science〉、2012年7月。ISBN (978-4-480-09474-2)。
ガウス, J. C. F. 著、高瀬正仁訳『ガウスの《数学日記》』日本評論社、2013年8月。ISBN (978-4-535-78584-7)。
河田敬義『数論　古典数論から類体論へ』岩波書店、東京、1992年4月。ISBN (978-4-00-005516-1)。
倉田令二朗『平方剰余の相互法則　ガウスの全証明』日本評論社、東京、1992年10月。ISBN (978-4-535-78192-4)。
高木貞治『代数的整数論』（第2版）岩波書店、東京、1971年4月。ISBN (978-4-00-005630-4)。
高瀬正仁『ガウスの数論　わたしのガウス』筑摩書房〈ちくま学芸文庫タ31-2〉、2011年3月。ISBN (978-4-480-09366-0)。
ノイキルヒ, J. 著、梅垣敦紀訳『代数的整数論』足立恒雄(監修)、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年12月。ISBN (978-4-431-70901-5)。
- ノイキルヒ, J. 著、梅垣敦紀訳『代数的整数論』足立恒雄(監修)、丸善出版、東京、2012年9月。ISBN (978-4-621-06287-6)。
ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R. 著、佐々木義雄訳『整数論』 (下)、吉岡書店、京都〈数学叢書〉、1972年。
- ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R. 著、佐々木義雄訳『整数論』 (下)（POD版）、吉岡書店、京都〈数学叢書 19〉、2000年8月。ISBN (978-4-8427-0287-2)。
リーベンボイム, P. 著、吾郷博顕訳『フェルマーの最終定理 13講』（第2版）共立出版、東京、1989年2月。ISBN (978-4-320-01415-2)。
Masley, J. M. (1975), “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”, Invent. Math. 28: 243-244, MR369319 Zbl 0296.12003 doi:10.1007/BF01425560

外部リンク

『(円分体)』 - コトバンク
『(cyclotomic field)』 - コトバンク
Rowland, Todd. "Cyclotomic Field". MathWorld (英語).

[1] 有理整数である素数のこと。

[2] $m=4k+2$ としたとき、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})=\mathbb {Q} (\zeta _{2k+1})$ であるので、 $\textstyle m\not \equiv 2{\pmod {4}}$ としてよい。

[4] この証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明)^[1]

[5] $\textstyle h_{1}(p)=\gamma (p)\prod _{\chi \in S}L(1,\chi )$ が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。

[7] 実際は、円分体に対して、直接(類数公式)で求めるのが普通である。

[8] マイレ(Maillet)の行列という。

[9] 各 δ_k は、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。

[FOOTNOTE倉田1992ii-3] 倉田 1992, p. ii.

[FOOTNOTE足立2006-6] 足立 2006.

[注釈 1]

[注釈 2]

[注釈 3]

[注釈 4]

[2]

[注釈 5]

[注釈 6]

[注釈 7]

[1]

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