この記事は(検証可能)な(参考文献や出典)が全く示されていないか、不十分です。(出典を追加)して記事の信頼性向上にご協力ください。((このテンプレートの使い方)) 出典検索?: ("エーレンフェストの定理") – (ニュース) · (書籍) · (スカラー) · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2012年9月) |
エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem[1])は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。
定理の主張 ポテンシャル の影響下にある質量 の粒子Aの状態が、波動関数 であらわされているものとする。この状態にある粒子A(およびそれと同じ状態にある複数の粒子)の位置 を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ 、 、 とする。このとき、
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が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作 は、通常量子力学で行われている方法どおりで
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とする。他も同様である。
証明 まず、期待値の定義より
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を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
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部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
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これらを用いると
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再度シュレーディンガー方程式を用いて
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また部分積分を使うと、
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加えて
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を用いると、
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を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から の期待値であるから、
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となる。
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