ハドヴィガーの定理

(積分幾何学)（英語版）（もしくは幾何学的確率論）において、ハドヴィガーの定理（ハドヴィガーのていり、英: Hadwiger's theorem）は Rⁿ における(凸体)（英語版）への(付値 (測度論))（英語版）の特徴付けをする定理である。(ヒューゴ・ハドヴィガー)（英語版）によって証明された。

導入

付値

Kⁿ を、Rⁿ における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kⁿ → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kⁿ である任意の S,T ∈Kⁿ に対し

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~}$ 

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kⁿ と Rⁿ の任意の平行移動または回転に対し

v(φ(S)) = v(S)

が成り立つことをいう。

Quermassintegrals

 

n = 2 のとき、凸多角形に対するシュタイナーの公式を図解したもの。多角形 K と一定半径の円板 B の t 倍との(ミンコフスキー和)（英語版）の面積は、次の3種の図形の面積の合計で求められる：(1) 元の多角形（黄色）、(2) 面積が多角形の周長および t に比例する図形（青紫色）、(3) 面積が円板の面積および t の2乗に比例する図形（緑色）。

(quermassintegral)（英語版） W_j: Kⁿ → R は、シュタイナーの公式

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~}$ 

によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W₀ は体積、W₁ は表面積の定数倍、W_n-1 は平均幅の定数倍、W_n は定数 Vol_n(B) である。

W_j は斉 n-j 次の付値である、つまり、

${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$ 

定理の主張

剛体運動の下で不変で連続な、Kⁿ 上の任意の付値 v は、

${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~}$ 

と表示できる。

系

剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kⁿ 上の任意の付値 v は、W_n-j の定数倍である。

参考文献

ハドヴィガーの定理の説明および証明：

• Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN (0-521-59362-X). MR1608265 

Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明：

• Chen, B. (2004). “A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem”. Geom. Dedicata 105: 107–120. doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR2057247.