5の累乗数

5の累乗数（ごのるいじょうすう）は、適当な自然数 n を選べば、5 の n 乗 5ⁿ の形に表せる自然数の総称である。

概説

5倍を繰り返したり、1 + 1 + 1 + 1 + 1 から始めて答えを5つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。

指数に(負の整数)を許すならば、5の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「5分の1」の概念も含まれてくる。実際、1 (5⁰), 1/5 (5⁻¹), 1/25 (5⁻²), 1/125 (5⁻³), 1/625 (5⁻⁴) … というようなものも、5の冪乗として表すことができる有理数である。

40乗までの5の累乗数（正の冪）

オンライン整数列大辞典の数列 (A000351)

5⁰	=	1	5¹⁶	=	152587890625	5³²	=	23283064365386962890625
5¹	=	5	5¹⁷	=	762939453125	5³³	=	116415321826934814453125
5²	=	25	5¹⁸	=	3814697265625	5³⁴	=	582076609134674072265625
5³	=	125	5¹⁹	=	19073486328125	5³⁵	=	2910383045673370361328125
5⁴	=	625	5²⁰	=	95367431640625	5³⁶	=	14551915228366851806640625
5⁵	=	3125	5²¹	=	476837158203125	5³⁷	=	72759576141834259033203125
5⁶	=	15625	5²²	=	2384185791015625	5³⁸	=	363797880709171295166015625
5⁷	=	78125	5²³	=	11920928955078125	5³⁹	=	1818989403545856475830078125
5⁸	=	390625	5²⁴	=	59604644775390625	5⁴⁰	=	9094947017729282379150390625
5⁹	=	1953125	5²⁵	=	298023223876953125
5¹⁰	=	9765625	5²⁶	=	1490116119384765625
5¹¹	=	48828125	5²⁷	=	7450580596923828125
5¹²	=	244140625	5²⁸	=	37252902984619140625
5¹³	=	1220703125	5²⁹	=	186264514923095703125
5¹⁴	=	6103515625	5³⁰	=	931322574615478515625
5¹⁵	=	30517578125	5³¹	=	4656612873077392578125

数量的な性質

1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。

例えば、十進法の位取り（十進数）では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には2の累乗数が現れる。

1 ÷ 5 = 0.2 (2¹)

1 ÷ 25 = 0.04 (2²)

1 ÷ 125 = 0.008 (2³)

1 ÷ 625 = 0.0016 (2⁴)

1 ÷ 3125 = 0.00032 (2⁵)

1 ÷ 15625 = 0.000064 (2⁶)

1 ÷ 78125 = 0.0000128 (2⁷)

1 ÷ 390625 = 0.00000256 (2⁸)

1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (2⁹)

1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (2¹⁰)

これらは

2^{-n}\times 5^{-n}=10^{-n}

より

5^{-n}=2^{n}\times 10^{-n}

であることから導かれる。

1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。

5^m（m ≧ n, n ≧ 2）の下 n 桁は次のようになる。

桁	2	3	4	5	6	7		8	9	10	…	n
	25	125	0625	03125	015625	0078125	5078125	00390625, 01953125, …, 97265625, 98828125	001953125, 009765625, …, 986328125, 994140625	0009765625, 0048828125, …, 9931640625 9970703125
		625	3125	15625	078125	0390625	5390625
			5625	28125	140625	0703125	5703125
			8125	40625	203125	1015625	6015625
				53125	265625	1328125	6328125
				65625	328125	1640625	6640625
				78125	390625	1953125	6953125
				90625	453125	2265625	7265625
					515625	2578125	7578125
					578125	2890625	7890625
					640625	3203125	8203125
					703125	3515625	8515625
					765625	3828125	8828125
					828125	4140625	9140625
					890625	4453125	9453125
					953125	4765625	9765625
通り	1	2	4	8	16	32		64	128	256	…	2^n－2

m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5^m の下 n 桁は 2^n－2 通りある。

常用対数との関係

$log 10 5 = 0.6989700043\dots$

この値に n をかけて小数点以下を切り上げると 5ⁿ が十進数で何桁の整数かわかる。

例えば、

0.6989700043… × 100 = 69.897… なので 5¹⁰⁰ は70桁、

0.6989700043… × 256 = 178.936… なので 5²⁵⁶ は179桁の整数となる。

5の累乗和

5の累乗数の和は、

0, 1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, 12207031, 61035156, 305175781, 1525878906, 7629394531, 38146972656, 190734863281, 953674316406, 4768371582031, 23841857910156, 119209289550781, 596046447753906, 2980232238769531 …（オンライン整数列大辞典の数列 (A003463)）

で、1から 5ⁿ（n ≧ 0）までの5の累乗数の和は 5ⁿ⁺¹－1/4 に等しい。

これらの数の末尾に25をつけた数（100 × 5の累乗数の和 + 25）は、25以上の5の累乗数である。

その他の性質

十進法では、下n桁（n ≧ 1）が 5ⁿ の倍数であれば、その数は 5ⁿ の倍数である。

下n桁が 5ⁿ の倍数で、下 n+1 桁が 5ⁿ⁺¹ の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5ⁿ である。

例　1853070540093840001956842537745897243375

下3桁（375）が 5³ (= 125) の倍数で、下4桁（3375）が 5⁴ (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 5³ である。

また、階乗 n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5^m である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。

例　50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 5¹² である。

階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19…（オンライン整数列大辞典の数列 (A027868)）

素数階乗では、1# = 1, 2# = 2, 3# = 6 の約数で最大の5の累乗数は 5⁰ = 1 で、

5# = 30 以上の素数階乗はすべて、最大の5の累乗数の約数は 5¹ = 5 である。

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