5の平方根

5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

直角三角形のうち、直角の一辺が1、片方の直角の一辺が2だと、斜線の一辺が

{\sqrt {5}}

になる。

{\sqrt {5}}

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

-{\sqrt {5}}

である。以下、正の平方根について記述する。

${\sqrt {5}}$ は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1]。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227\dots

語呂合わせでは「(富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）)」などがある。

性質

${\sqrt {5}}$ は代数的整数である。 ${\sqrt {5}}$ の有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の既約多項式は $x 2 - 5$ である。
${\sqrt {5}}$ の連分数表示は

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

となる。

1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

で表される。

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

で表される。

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