数論における正則素数（せいそくそすう、regular prime）とは、円の p 分体の(類数)を割り切らない素数 p のことであり、エルンスト・クンマーにより考案された。小さいものから順に
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 (A7703)）
と続く。 クンマーは、奇素数の正則性は p が k = 2, 4, 6, …, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。また、次数が正則素数である場合にフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。
正則素数は無限に存在すると予想されている。より正確には、e−1/2 、つまり約 61% の素数が正則であると予想されている (Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。
正則でない奇素数は非正則素数と呼ばれ、小さいものから順に
- 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, … ((A928))
と続く。分子が p で割り切れるようなベルヌーイ数 Bk の個数は p の非正則指数と呼ばれる。K. L. ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。
参考文献
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 (ISBN 0-387-20860-7); section D2.
- Carl Ludwig Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. d. Wiss. Goettingen, Math. Phys. K1., II, 1964, 51-62.
関連項目
- w:Herbrand–Ribet theorem
外部リンク
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: regular prime（英語）