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逆ガンマ分布 （ぎゃくガンマぶんぷ、英語 : inverse gamma distribution ）は連続確率分布 の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布 に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
逆ガンマ分布 確率密度関数
累積分布関数
母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} (形状母数 )（英語版） β > 0 {\displaystyle \beta >0} (尺度母数 )（英語版） 台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} 確率密度関数 β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} 累積分布関数 Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} 期待値 β α − 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}} α > 1 {\displaystyle \alpha >1} 中央値 β Γ − 1 ( α , Γ ( α ) / 2 ) {\displaystyle {\frac {\beta }{\Gamma ^{-1}(\alpha ,\Gamma (\alpha )/2)}}} 最頻値 β α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}} 分散 β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}} α > 2 {\displaystyle \alpha >2} 歪度 4 α − 2 α − 3 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}} α > 3 {\displaystyle \alpha >3} 尖度 6 ( 5 α − 11 ) ( α − 4 ) ( α − 3 ) {\displaystyle {\frac {6(5\alpha -11)}{(\alpha -4)(\alpha -3)}}} α > 4 {\displaystyle \alpha >4} エントロピー α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( 1 + α ) ψ ( α ) {\displaystyle \alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(1+\alpha )\psi (\alpha )} ψ {\displaystyle \psi } ディガンマ関数 モーメント母関数 なし 特性関数 2 ( − i β x ) α / 2 K α ( 2 − i b x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {2(-i\beta x)^{\alpha /2}K_{\alpha }(2{\sqrt {-ibx}})}{\Gamma (\alpha )}}} K {\displaystyle K} ベッセル関数 (テンプレートを表示 )
定義と性質 逆ガンマ関数の確率密度関数 は(形状母数 )（英語版） α > 0 {\displaystyle \alpha >0} (尺度母数 )（英語版） β > 0 {\displaystyle \beta >0} 台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} と定義される[1] Γ {\displaystyle \Gamma } ガンマ関数 である。尺度母数について
f ( x ; α , β ) = 1 β f ( x / β ; α , 1 ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)} である。逆ガンマ分布の(累積分布関数 )は次のように表される。
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} ここで分子の Γ {\displaystyle \Gamma } 不完全ガンマ関数 である。
モーメント α > n {\displaystyle \alpha >n} n {\displaystyle n} モーメント は
E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − n ) ⋯ ( α − 1 ) {\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}} である[2] 期待値 と分散 はそれぞれ
E [ X ] = β α − 1 ( α > 1 ) , V [ X ] = β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 ( α > 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}} である。
他の分布との関係 I n v G a m m a ( α , 1 / 2 ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)} I n v C h i 2 ( 2 α ) {\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )} (逆カイ二乗分布 )（英語版） ） I n v G a m m a ( 1 / 2 , β ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )} L e v y ( 0 , 2 β ) {\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )} レヴィ分布 ） X ∼ G a m m a ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )} ガンマ分布 、 β {\displaystyle \beta } 1 / X ∼ I n v G a m m a ( α , 1 / β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\beta )} X ∼ I n v G a m m a ( 1 , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )} 1 / X ∼ E x p ( β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )} 指数分布 ）
脚注 ^ “InverseGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント”. reference.wolfram.com . 2022年11月29日 閲覧。 ^ John D. Cook (2008年10月3日). “Inverse Gamma Distribution”. 2022年11月29日 閲覧。
参考文献 Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer. Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.
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