数学 において、終結式 (しゅうけつしき、英 : resultant )[注 1] とは、2つの多項式 の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が(係数体の分解体 上で)共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分な条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される:
多項式 f (x ) = an xn + a n −1x n −1 + … + a 1 x + a 0 (an ≠ 0) の重複を含めた根を α 1 , …, αn , g (x ) = bm xm + b m −1x m −1 + … + b 1 x + b 0 (bm ≠ 0) の重複を含めた根を β 1 , …, βm とするとき、f , g の終結式 Res ( f , g ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)} を、次の等式のどちらかで定義する: a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 | {\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}} (対角成分に an が m 個、b 0 が n 個) 右辺はシルヴェスター行列 の行列式 である。 終結式が 0 であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値 である。
多項式 f の導関数 を f' で表すと、 Res ( f , f ′ ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,f')} は f の判別式 に等しい。
終結式は、数論 で広く用いられている。有理 係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは計算機代数 (英語版) の基本的なツールであり、たいていの数式処理システム の組み込み関数である。それはとりわけ、(柱形代数分解 )(英語版) (CAD), 有理関数 の逆微分、(二変数 )代数方程式 によって定義された曲線 の描画に対して使われる。
2つの定義式が等しいことの証明 多項式
f (x ) = an xn + a n −1x n −1 + … + a 1 x + a 0 (an ≠ 0)の重複を含めた根を α 1 , …, αn ,
g (x ) = bm xm + b m −1x m −1 + … + b 1 x + b 0 (bm ≠ 0)の重複を含めた根を β 1 , …, βm
とするとき、次の等式が成り立つ:
a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 | {\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}} (対角成分に an が m 個、b 0 が n 個) ここでは、文献[2] に掲載されている方法により証明する。
(証明)
A := [ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 ] {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{bmatrix}}} とおく。A の第1 ~m 行を an で、第(n + 1) ~(m + n ) 行を bm で割ると、根と係数の関係 より、成分は、0 か 1 か、α 1 , …, αn または β 1 , …, βm の(基本対称式 )になる。
故に 1 a n m b m n | A | {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|} は、α 1 , …, αn ; β 1 , …, βm の多項式 である。
αi = βj の時を考える。αi = βj =: λ とし、
x := t ( λ n + m − 1 , ⋯ , λ , 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}:={}^{t}(\lambda ^{n+m-1},\cdots ,\lambda ,1)} (t は転置 を表す)とおく。 ∑ i = 0 n a i λ i = ∑ j = 0 m b j λ j = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}a_{i}\lambda ^{i}=\sum \limits _{j=0}^{m}b_{j}\lambda ^{j}=0} より、
A x = o {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}} ( o {\displaystyle {\boldsymbol {o}}} は零ベクトル ) x ≠ o {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {o}}} より、この(斉次 )連立方程式 には(非自明 )な解が存在するから、係数行列 は非正則 である:
| A | = 0 {\displaystyle |A|=0} 1 a n m b m n | A | {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|} は、αi = βj のとき多項式として 0 になるから、因数定理 より、αi − βj を因数に持つ:
1 a n m b m n | A | = c ∏ i , j ( α i − β j ) {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|=c\,\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})} 両辺の (β 1 β 2 … βm )n の係数を比較すると、c = 1
∴ | A | = a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) ◼ {\displaystyle \therefore \ |A|={a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \blacksquare }
係数環が整域の場合 整域R が体 K に含まれるとし、f を n 次、g を m 次 の R 係数多項式 とする:
f ( x ) = f n x n + f n − 1 x n − 1 + ⋯ + f 1 x + f 0 {\displaystyle f(x)=f_{n}x^{n}+f_{n-1}x^{n-1}+\cdots +f_{1}x+f_{0}} , g ( x ) = g m x m + g m − 1 x m − 1 + ⋯ g 1 x + g 0 {\displaystyle g(x)=g_{m}x^{m}+g_{m-1}x^{m-1}+\cdots g_{1}x+g_{0}} f , g は K の代数的閉包 上で
f = f m ∏ i = 1 n ( x − α i ) {\displaystyle f=f_{m}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(x-\alpha _{i})} g = g n ∏ j = 1 m ( x − β j ) {\displaystyle g=g_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{m}(x-\beta _{j})} と因数分解され、終結式 Res ( f , g ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)} が定義できる。
脚注 注釈 ^ 古い文献では eliminant (消去式 )と呼ばれることもある。 出典 ^ 吾郷孝視、細尾敏男、田中隆一『線形代数問題集』(単行本)森北出版 〈基礎数学問題集シリーズ1〉、1989年1月1日、p.40,41,134頁。ISBN (978-4627045101 )。
参考文献 Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants , Boston: Birkhäuser, ISBN (978-0-8176-3660-9 ) MacAulay, F. S. (1902), “Some Formulæ in Elimination”, Proc. London Math. Soc. 35 : 3-27, doi :10.1112/plms/s1-35.1.3 Salmon, George (1885), Lessons introductory to the modern higher algebra origyear=1859 (4th ed.), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., ISBN (978-0-8284-0150-0 ), https://archive.org/details/salmonalgebra00salmrich Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, (ISBN 978-3-540-92811-9 ), doi :10.1007/978-3-540-92812-6.
関連項目
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