発散定理 (はっさんていり、英語 : divergence theorem )は、ベクトル場 の発散 を、その場によって定義される流れの面積分 に結び付けるものである。
ガウスの定理 (ガウスのていり、英語 : Gauss' theorem )とも呼ばれる。
発見
定理の内容 数式を用いて述べると次のようになる。まず、R 3 で定義された滑らか なベクトル場 F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},F_{3})} に対して F の発散 div F を
div F := ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}:={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}} と定義する。発散は∇(ナブラ ;nabla)を用いると,
div F = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {F}}} と表され,ベクトルの内積(ドット積 )となる.
V を R 3 において滑らか(ここでは C 1 級でよい)な境界 ∂V をもつ有界な領域(= 連結開集合 )とし、F を V の閉包 で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
∭ V div F d x d y d z = ∬ ∂ V F ⋅ n d S {\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {F}}\!\cdot \!{\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S} が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C 1 級であれば十分である。
この定理は div という演算が発散(あるいは湧出量 )と呼ばれる所以でもある。右辺は領域 V から流れ出す量であり、それが全ての発散を合わせたものに等しくなっている。
この定理は、一般的なストークスの定理 から導くことができる。
一般化されたストークスの定理との対応 発散定理は、以下のように一般化されたストークスの定理 において、2次微分形式 のωを考えた場合に相当する。
∫ ∂ V ω = ∫ V d ω {\displaystyle \int _{\partial V}\omega =\int _{V}\mathrm {d} \omega } ここでωは
ω := F 1 d y ∧ d z + F 2 d z ∧ d x + F 3 d x ∧ d y {\displaystyle \omega :=F_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+F_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+F_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であり、その外微分 は次式で与えられる。
d ω := ( ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \mathrm {d} \omega :={\biggl (}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
応用 発散定理を電磁気学 に応用して、電荷 から湧き出す電場 についてのガウスの法則 を数学的に記述できる(⇒マクスウェルの方程式 )。
∮ S d S ⋅ E = Q ε 0 = 1 ε 0 ∫ V d V ρ {\displaystyle \oint _{S}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {E}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\mathrm {d} V\rho } div E = ρ ε 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
脚注 [脚注の使い方 ]
注釈 ^ オストログラツキーは発散定理を1828年にパリで口頭報告しているものの、その内容は公刊されず、1831年のサンクトペテルブルク での学会報告のみが残されている[2] 。 出典 ^ C. F. Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-kräfte, Res. Beob. magn. Vereins 4 , 1, 1840 ^ M. Ostorgradsky, Note sur la théorie de la chaleur, Mém. Acad Sci. St.-Pétersb . 1 , 129, 1831; Deuxième note sur la théorie de la chaleur, ibid . 1 , 123,1831
参考文献 太田浩一 『マクスウエル理論の基礎 相対論と電磁気学』東京大学出版会 (2002年)(ISBN 978-4130626040 )
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