この記事は(検証可能 )な(参考文献や出典 )が全く示されていないか、不十分です。 (出典を追加 )して記事の信頼性向上にご協力ください。（(このテンプレートの使い方 )） 出典検索? : ("ドット積" ) – (ニュース ) · (書籍 ) · (スカラー ) · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2016年10月
数学 あるいは物理学 においてドット積 （ドットせき、英 : dot product ）あるいは点乗積 （てんじょうせき）とは、ベクトル 演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、（デカルト座標 の入った）ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内積 のことである。
定義 代数的定義 2つのベクトル a a 1 , a 2 , ..., a n b b 1 , b 2 , ..., b n [1]
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}} 幾何的定義 n 実 ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 有向線分 から位置の概念を取り除いたもの）a b a b
a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos θ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|\cos \theta } と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに a b 成す角 であり、‖ · ‖ はベクトルの大きさ （対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 b a 正射影 したものの大きさと a R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ドット積 あるいは標準内積 という。
また一方で、ベクトルを a a x a y a z b b x b y b z 余弦定理 を用いることで
a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}} が成り立つことが示される。ゆえにこちらを定義とすることもある。
ノルム ベクトルの自分自身とのドット積の（正の）平方根
‖ a ‖ := a ⋅ a {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {a}}}}} をベクトルのノルム という。具体的にベクトルを a a x a y a z
‖ a ‖ = a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|={\sqrt {a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}}}} と書くことができる。これはベクトル a
ドット積とノルムを使えば、2つのベクトル a a x a y a z b b x b y b z
cos θ = a ⋅ b ‖ a ‖ ‖ b ‖ = a x b x + a y b y + a z b z ( a x 2 + a y 2 + a z 2 ) ( b x 2 + b y 2 + b z 2 ) {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}{\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|}}={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt {\left(a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}\right)\left(b_{x}{}^{2}+b_{y}{}^{2}+b_{z}{}^{2}\right)}}}} から求めることが可能である。逆にベクトルのなす角 をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分 と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。
したがってドット積は（ノルムを通して）、通常のユークリッド空間における長さ、角度 に一致する計量を矛盾なく定めるものである。つまり、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
性質 ドット積について
a · a ≥ 0,a · a = 0 となることと a の成分がすべて零であることとが同値 である。a · b = b · a ,任意の実数 k , l に対し、(k a 1 + l a 2 ) · b = k (a 1 · b ) + l (a 2 · b ) なる性質が満たされる。ゆえにドット積は内積 の一種であり、ベクトルのノルムはノルム の一種である。
応用例 力学 において、物体に一定の力 F [N] が作用して、F と角度 θ だけずれた方向に物体が x [m] 移動したとき、なされた仕事 は Fx cos θ [N.m] となる。これは力と変位を幾何学的なベクトルと見なした場合のドット積である。
参考文献 [脚注の使い方 ]
^ S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN (978-0-07-154352-1 )
関連項目
外部リンク Weisstein, Eric W . "Dot Product ". MathWorld dot product - PlanetMath .（英語） (Definition:Dot Product ) at ProofWiki Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Inner product", Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 