正準量子化

正準量子化（せいじゅんりょうしか、英: canonical quantization）とは、古典力学的な理論から量子力学的な理論を推測する手法（量子化）の一種である。具体的には、ハミルトン力学(ハミルトン形式の古典力学)での正準変数を、正準交換関係をみたすようなエルミート演算子に置き換える。この方法では、ハミルトン力学におけるポアソン括弧が、量子力学での交換関係に対応している。正準量子化により、古典力学では可換であった力学量(c-数、cはclassicalを表す)のなす代数は、量子力学では非可換な力学量(q-数、qはquantumを表す)のなす代数に移行する。

解説

正準量子化とは、量子力学的な系を扱う際に、古典力学から量子力学での対応則を構成する手法である。その具体的な手続きは、以下のようにまとめられる。

正準量子化の手続き

対象とする系をハミルトン力学(正準形式)で記述する。
正準形式における正準変数 $(q,\,p)$ を、正準交換関係を満たす演算子 $({\hat {q}},{\hat {p}})$ に置き換える。
正準変数 $(q,\,p)$ の関数である古典的力学量 $A(q,\,p)$ について、正準変数の項を2で定めた演算子 $({\hat {q}},{\hat {p}})$ に置き換える。この操作によって、古典的力学量 $A=A(q,\,p)$ の量子力学的対応物 ${\hat {A}}={\hat {A}}({\hat {q}},{\hat {p}})$ を定める。

2の操作を、より詳細に述べると以下のようになる。

1自由度の場合

古典的な正準変数 $(q,\,p)$ を、正準交換関係

$[{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar$

をみたす演算子 $({\hat {q}},{\hat {p}})$ に置き換える。

N自由度の場合

古典的な正準変数 $(q_{1},p_{1};q_{2},p_{2};\cdots ;q_{N},p_{N})$ を、正準交換関係

$[{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=i\hbar \delta _{\alpha \beta }$
$[{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {q}}_{\beta }]=[{\hat {p}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=0\quad \alpha ,\beta =1,\dots ,N$

をみたす演算子に置き換える。

正準量子化における演算子の不定性などの問題については、正準量子化における諸問題の項を参照のこと。

具体例

1自由度の場合

1次元デカルト座標の場合の例

1次元の量子系を考え、波動関数の状態空間として、座標表示したものを選ぶ。すなわち、座標xと時間tの関数 $\psi (x,\,t)$ のうち、自乗可積分なもの（座標表示の波動関数）全体が、系のヒルベルト空間をなす。ここで、座標 $\,x$ と正準共役運動量 $\,p_{x}$ を、

${\hat {x}}\psi (x,t)=x\psi (x,t)$
${\hat {p}}_{x}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial {}x}}\psi (x,t)$

で定義される演算子 ${\hat {x}}$ 、 ${\hat {p}}_{x}$ で置き換える。このとき、

$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]\psi (x,t)=i\hbar \psi (x,t)$

となり、 ${\hat {x}}$ 、 ${\hat {p}}_{x}$ が正準交換関係をみたしていることがわかる。つまり、座標表示では掛け算演算子としての ${\hat {x}}$ と微分演算子としての ${\hat {p}}_{x}$ が、正準変数 $x,\,p_{x}$ の正準量子化による量子力学的表現となる。系の古典力学的なハミルトニアンが

$H(x,p_{x})={\frac {p_{x}^{\,2}}{2m}}+V(x)$

で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンは

${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}}_{x})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)$

となる。

古典力学との対応

交換関係とポアソン括弧

正準量子化の操作は、古典力学での「ポアソン括弧」と量子力学における「交換関係」の対応原理を考えると、より明確になる。

$\{A,B\}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial {}A}{\partial {}q_{\alpha }}}{\frac {\partial {}B}{\partial {}p_{\alpha }}}-{\frac {\partial {}B}{\partial {}q_{\alpha }}}{\frac {\partial {}A}{\partial {}p_{\alpha }}}\right)\Leftrightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\frac {1}{i\hbar }}\left({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right)$

実際、正準変数については、

$\{q_{\alpha },p_{\beta }\}=\delta _{\alpha \beta }\Leftrightarrow [{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=i\hbar \delta _{\alpha \beta }$
$\{q_{\alpha },q_{\beta }\}=\{p_{\alpha },p_{\beta }\}=0\Leftrightarrow [{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {q}}_{\beta }]=[{\hat {p}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=0$

の関係が成り立つ。力学量の時間発展についても、この対応原理から

${\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\Leftrightarrow {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}$

とハイゼンベルクの運動方程式が現れる。言い換えれば、正準量子化では、ハミルトン力学における2つのc-数の力学量 $A,\,B$ の満たすポアソン括弧を、q-数(演算子)の力学量 ${\hat {A}},\,{\hat {B}}$ の満たす交換関係に対応させ、その関係を通じて量子力学的表現を得ているともいえる。これらの対応原理は1925年にディラックによって明らかにされた^[1]。