空 でない集合 は必ず自分自身と交わらない要素 を持つ。
∀ A ( A ≠ ∅ ⇒ ∃ x ∈ A ∀ t ∈ A ( t ∉ x ) ) {\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \Rightarrow \exists x\in A\forall t\in A(t\notin x))}
以下の3つの主張 はいずれもZF公理系 の他の公理の元で同値 であり、どれを正則性公理 として採用 しても差し支えない[1]
任意 の空でない集合x に対して、 ∃ y ∈ x , x ∩ y = 0 {\displaystyle \exists {y}{\in }x,x{\cap }y=0} ∀ x {\displaystyle \forall x} ∈ がx 上整礎関係 V =WF ここで、V は集合論 の宇宙 を指し、WF は整礎的集合 全体のクラス （フォン・ノイマン宇宙 ）を指す。
ZF公理系 内に限って話を進める。各順序数 α {\displaystyle \alpha } R ( α ) {\displaystyle R(\alpha )} 定義 する。
R ( 0 ) = 0 {\displaystyle R(0)=0} R ( α + 1 ) = P ( R ( α ) ) {\displaystyle R(\alpha +1)=P(R(\alpha ))} α {\displaystyle \alpha } 極限順序数 のとき R ( α ) = ⋃ β < α R ( β ) {\displaystyle R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )} クラス WF はこれらを全て集めたものとして定義される。
W F = ⋃ { R ( α ) : α ∈ O N } {\displaystyle WF=\bigcup \{R(\alpha ):\alpha {\in }ON}\} ZF公理系 の他の公理系 から得られる種々の集合演算 (対集合 、和集合 、冪集合 ) の結果としての集合は常にWF 内に含まれるため、V=WF の仮定 は全ての集合を0 に通常の集合演算 を施すことによって得られるものだけに制限 することを主張 している。したがって、例えばx = {x }x ∈y y ∈x 正則性 の公理の下では集合にはなり得ない。
R ( α ) {\displaystyle R(\alpha )} 推移的 ∀ β ≤ α , R ( β ) ⊆ R ( α ) {\displaystyle {\forall }\beta \leq \alpha ,R(\beta ){\subseteq }R(\alpha )} 証明 超限帰納法 による。 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} ∀ β < α {\displaystyle \forall \beta <\alpha } 仮定 する。 α = β + 1 {\displaystyle \alpha =\beta +1} R ( β ) {\displaystyle R(\beta )} R ( α ) = P ( R ( β ) ) {\displaystyle R(\alpha )=P(R(\beta ))} 推移的 になる。また、 R ( β ) ⊂ P ( R ( β ) ) = R ( α ) {\displaystyle R(\beta )\subset P(R(\beta ))=R(\alpha )} α {\displaystyle \alpha } 極限順序数 のとき、仮定より ∀ β < α {\displaystyle \forall \beta <\alpha } R ( β ) {\displaystyle R(\beta )} 推移的集合 の和集合 が推移的 になることにより
R ( α ) = ⋃ β < α R ( β ) {\displaystyle R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )}
も推移的になる。さらに
∀ β < α , R ( β ) ⊂ ⋃ β < α R ( β ) = R ( α ) {\displaystyle {\forall }\beta <\alpha ,R(\beta )\subset \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}
WF の定義より、x ∈WF x ∈ R ( α ) {\displaystyle x\in R(\alpha )} 順序数 α {\displaystyle \alpha } 後続順序数 になる。実際、 α {\displaystyle \alpha } 極限順序数 として x ∈ R ( α ) {\displaystyle x\in R(\alpha )} ∀ β < α , x ∉ R ( β ) {\displaystyle \forall \beta <\alpha ,x\notin R(\beta )}
x ∉ ⋃ β < α R ( β ) = R ( α ) {\displaystyle x\notin \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}
となって矛盾 する。
そこで、集合x のランク を次のように定義する。
x ∈WF x ∈ R ( β + 1 ) {\displaystyle x\in R(\beta +1)} β {\displaystyle \beta } x のランク といい、 r a n k ( x ) {\displaystyle \mathrm {rank} (x)}
よって、 r a n k ( x ) = β {\displaystyle \mathrm {rank} (x)=\beta }
∀ α > β , x ∈ R ( α ) {\displaystyle \forall \alpha >\beta ,x{\in }R(\alpha )}
が成り立ち、 x ∉ R ( β ) {\displaystyle x\notin R(\beta )} x ⊂ R ( β ) {\displaystyle x\subset R(\beta )} 概念 を用いて R ( α ) {\displaystyle R(\alpha )}
∀ α , R ( α ) = { x ∈ W F : r a n k ( x ) < α } {\displaystyle \forall \alpha ,R(\alpha )=\left\{x{\in }WF:\mathrm {rank} (x)<\alpha \right\}} 及び、
∀ x ∈ W F , r a n k ( x ) < α ⇔ ∃ β < α , x ∈ R ( β + 1 ) ⇔ x ∈ R ( α ) {\displaystyle {\forall }x{\in }WF,\mathrm {rank} (x)<\alpha \Leftrightarrow \exists \beta <\alpha ,x{\in }R(\beta +1){\Leftrightarrow }x{\in }R(\alpha )} ランクを計算 するときに次の補題 を使う。
y ∈ W F {\displaystyle y\in WF}
x ∈ y ⟹ x ∈ W F {\displaystyle x\in y\Longrightarrow x{\in }WF}
かつ
r a n k ( x ) < r a n k ( y ) {\displaystyle \mathrm {rank} (x)<\mathrm {rank} (y)}
r a n k ( y ) = α {\displaystyle \mathrm {rank} (y)=\alpha } y ∈ R ( α + 1 ) = P ( R ( α ) ) . {\displaystyle y\in R(\alpha +1)=P(R(\alpha )).}
x ∈ y {\displaystyle x\in y} x ∈ R ( α ) = { x ∈ W F : r a n k ( x ) < α } {\displaystyle x\in R(\alpha )=\{x\in WF:\mathrm {rank} (x)<\alpha \}} r a n k ( x ) < α . {\displaystyle \mathrm {rank} (x)<\alpha .}
