有限変形理論

連続体力学において、有限変形理論(ゆうげんへんけいりろん;finite strain theory')は、物体（連続体）のひずみや回転が(無限小ひずみ理論)における前提では通用しないような (deformations)である場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、エラストマー、(塑性変形)材料などの流体、生物学で見られるような軟組織ケースである。有限変形理論は、物体の変形の理論の一つで、(微小変形理論)と並立する^[1]。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が(大変形解析)であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる^[2]。

変形（Displacement）

 

Figure 1. 連続体の運動

物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。

• 剛体変位は、形状や大きさを変えずに、(並進（物理）)や回転を組み合わせた変位である。
• 変形は、初期状態（変形していない状態;${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ )から現在の状態（変形した状態; ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ）へ形状や大きさが変化することを意味する（Figure 1）。

連続体の配置の変化は ( 変位場) によって記述することができる。(変位場)とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めたベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。

物質座標 (ラグランジュ表記)

変数jでラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる； 変形前の配置${\displaystyle P_{j}}$ と変形後の配置${\displaystyle p_{j}}$ における粒子の位置を結ぶベクトルを(displacement vector)と呼ぶことにする。

${\displaystyle P_{j}}$ の代わりに${\displaystyle \mathbf {X} }$ を、${\displaystyle p_{j}}$ の代わりに${\displaystyle \mathbf {x} }$ を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルの(ラグランジュ記述)となる。即ち、

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

 

ここで、${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。

物質座標で表すと（${\displaystyle \mathbf {u} }$  を、${\displaystyle \mathbf {X} }$ の関数として表すと）、変位場は次のようになる；

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

 

ここで、${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$ は剛体の並進を表す変位ベクトルである。

変位ベクトルの物質座標に対する偏微分から物質変形勾配テンソル（material displacement gradient tensor）${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$ 、以下のように求まる;

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$

 

ここで${\displaystyle F}$ は変形勾配テンソル（deformation gradient tensor）である。

空間座標（オイラー表記）

オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子${\displaystyle P}$ から変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル（displacement vector)と呼ぶ;

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$

 

ここで、${\displaystyle <\mathbf {E} _{i}>}$ は物質座標系（ボディフレーム）の基底を定める単位ベクトルの組である。

空間座標で表現すると（つまり、${\displaystyle \mathbf {U} }$  を ${\displaystyle \mathbf {x} }$ の関数として）変位場は次のようになる;

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

 

変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、空間変位勾配テンソル${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$ が得られる。

このようにして我々は、以下を得る。

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,.}$$

 

物質座標系と空間座標系の関係

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$  は物質座標系の単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ と 空間座標系の単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ の間の方向余弦である。即ち、

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

 

${\displaystyle u_{i}}$  と ${\displaystyle U_{J}}$  の関係は以下で与えられる。

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

 

以下を踏まえると、

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

 

以下を得る。

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

 

変形した座標系と未変形の座標系を組み合わせる

変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$  となり、方向余弦はクロネッカーのデルタとなる、すなわち、

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

 

したがって、物質座標（変形していない）では、変位は次のように表すことができる：

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

 

また、空間座標（変形している）では、変位は次のように表すことができる：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

 

変形勾配テンソル(Deformation gradient tensor)

 

Figure 2. Deformation of a continuum body.

変形勾配テンソルは以下の式で表される。

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$$

 

これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル （${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ 、${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$ ）を含むことからもわかるように、この両方に関連している。 従って、(two-point tensor)である。

${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ に対する連続性の仮定により、${\displaystyle \mathbf {F} }$ は、逆関数、即ち${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ を持つ。この${\displaystyle \mathbf {H} }$ は 空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor) である。ここで、陰関数定理 ^[3]よれば、ヤコビアン（即ち、 ${\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|}$ ） は非退化(即ち、${\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$ ）とならねばならない。

物質変形勾配テンソル(Material deformation gradient tensor) ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ は、２階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。 物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトル${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。 即ち、マッピング関数${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換（線形変換）することによって、隣接する点での変形を行う。${\displaystyle \mathbf {X} }$  and time ${\displaystyle t\,\!}$ と時間${\displaystyle t\,\!}$ について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。

このようにして、我々は以下を得る。

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

 

脚注

1. ^ Insight. “1章 非線形解析における応力と歪”. 2022年9月6日閲覧。
2. ^ 中川光雄 (2005年9月). “有限差分法コードFLAC　第６回　～大変形解析（その１）～”. GEOSCIENCE RESEARCH LABORATORY. 2022年9月6日閲覧。
3. ^ Lubliner, Jacob (2008). (Revised ed.). Dover Publications. ISBN (978-0-486-46290-5). オリジナルの2010-03-31時点におけるアーカイブ。.  

Further reading

• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN (0-8493-9779-0). https://books.google.com/books?id=Nn4kztfbR3AC 
• Dimitrienko, Yuriy (2011). Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. ISBN (978-94-007-0033-8). https://books.google.com/books?as_isbn=9789400700338 
• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN (3-540-20619-1). https://books.google.com/books?id=B-dxx724YD4C 
• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN (0-8493-1138-1). https://books.google.com/books?id=1P0LybL4oAgC 
• Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN (1-56081-579-5) 
• Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN (0-07-040663-4). https://books.google.com/books?id=bAdg6yxC0xUC 
• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers (Second ed.). CRC Press. ISBN (0-8493-1855-6). https://books.google.com/books?id=uI1ll0A8B_UC 
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN (0-521-83979-3). https://books.google.com/books?id=5nO78Rt0BtMC 
• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN (0-7506-8025-3). https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC 

External links

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica