数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合（ぎとつしゅうごう、英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。
今
を領域、すなわち、開連結部分集合とする。G が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての実数 x に対して
が G の相対コンパクトな部分集合となるような、G 上のある連続多重劣調和函数 φ が存在することを言う。言い換えると、G が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。
G が C2（二階連続的微分可能）級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、C2 級の境界を持つ G には定義函数が存在することが示される。すなわち、G = {ρ < 0} および ∂G = {ρ = 0} を満たすような C2 級の ρ: Cn → R の存在が示される。今、G が擬凸であるための必要十分条件は、すべての p ∈ ∂G と、p での複素接空間内の w, すなわち
を満たすような w に対して、
が成立することである。
G の境界が C2 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。
命題1 G が擬凸であるなら、境界が C∞ 級（滑らか）で、G 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域 Gk ⊂ G で
を満たすものが存在する。
この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような φ に対して、実際に C∞ エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。
n = 1 の場合
複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。
関連項目
参考文献
- Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. ((ISBN 0-444-88446-7)).
- Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Range, R. Michael (February 2012), “WHAT IS...a Pseudoconvex Domain?”, Notices of the American Mathematical Society 59 (2): 301–303, doi:10.1090/noti798