多変数複素関数

数学における多変数複素関数論（たへんすうふくそかんすうろん、英: the theory of functions of several complex variables）とは、複素多変数の複素数値関数、すなわち、 $n$ 個の複素数の組全体のなす数ベクトル空間 $C n$ 上の複素数値関数

f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})

を扱う分野である。複素解析（これは $n = 1$ の場合に当たる理論ではあるが、 $n > 1$ の場合とは一線を画す性質を持つ）と同様、任意の単なる函数を扱うものではなく、正則 (holomorphic) あるいは複素解析的 (complex analytic) な関数、つまり局所的に変数 $z i$ たちの冪級数で書けるような関数を扱う。そのような関数は結局のところ、多項式列の局所一様極限として得られるような関数ということもでき、 $n$ 次元コーシー・リーマンの方程式の局所解と言っても同じことであるということが分かる。

歴史的観点

上述のような関数の多くの例は、19世紀の数学においてよく研究されたものであった。例えばアーベル関数やテータ関数の他、ある種の超幾何級数がそのような例として挙げられる。またもちろん、ある複素媒介変数に依存する任意の一変数関数も、そのような例となる。しかしそれらの特徴的な現象は捉えられていなかったため、長年の間、解析学においてその理論の完成は十分ではなかった。ワイエルシュトラスの準備定理は現在では可換環論に分類されるであろう。それは、リーマン面の理論における分岐点の一般化を扱った局所的な描像である分岐を正当化したものである。

1930年代のフリードリヒ・ハルトークスと岡潔の成果により、一般理論の構築がなされ始めた。その当時の同分野における他の研究者には、ハインリヒ・ベーンケ、(ペーター・トゥレン)（英語版）および(カール・シュタイン)（英語版）がいる。ハルトークスは、 $n > 1$ のとき任意の解析的関数

f:\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C}

に対してすべての孤立特異点は除去可能であるなど、いくつかの基本的な結果を証明した。ここで当然、周回積分と類似の概念は扱いが難しくなる。 $n = 2$ の場合だと、ある点の周りの積分は、（実4次元で考えるため）3次元多様体上で行わなければならず、また2つの別々の複素変数についての逐次周回（線）積分は2次元曲面上の二重積分として扱われる必要がある。このことは、留数計算が非常に異なる性質を持つようになることを意味する。

1945年以降、アンリ・カルタンのフランスでのセミナーにおける重要な研究や、(ハンス・グラウエルト)（英語版）および(ラインホルト・レンメルト)（英語版）のドイツでの重要な研究によって、理論の描像は著しく変化した。多くの問題、特に解析接続についての問題が、明らかにされた。ここで一変数の理論との主要な違いが明らかになる。すなわち、１変数の場合は $C$ 内の任意の開連結集合 $D$ に対して、その境界を超えて解析接続できない関数を見つけることができるが、多変数 $n > 1$ の場合にはそのようなことはいえないのである。実際、そのような性質を持つ領域 $D$ はあるていど特殊なものになる（擬凸性と呼ばれる条件をもつ）。最大限解析接続された関数の自然な定義域は、シュタイン多様体と呼ばれ、その性質は層係数コホモロジー群が消えるというものである。実は、（特に）岡の仕事を、理論の定式化において層を首尾一貫して使用することを導いたよりはっきりした基本へとすることが必要だったのだ。

さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析函数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や多変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。また(複素構造の変形理論)（英語版）や複素多様体は、小平邦彦やドナルド・スペンサーによって一般的な形で記述された。さらに、セールの高名な論文GAGAにおいて、解析幾何 (géometrie analytique) を代数幾何 (géometrie algébrique) へと橋渡す観点が突き止められた。

カール・ジーゲルは、新たな多変数複素関数論の対象になる関数がほとんどない、すなわち、理論における特殊関数的な側面は層に従属するものであったことに、不平をもらしたことが知られている。数論に対する興味は、確かに、モジュラー形式の特定の一般化にある。その古典的な代表例は、(ヒルベルトモジュラー形式)（英語版）や(ジーゲルモジュラー形式)（英語版）である。今日においてそれらは、代数群と関連付けられている。（それぞれ GL(2) の総実代数体の(ヴェイユ制限)（英語版）と、シンプレクティック群である。）それらは、保型表現が解析関数から生じうるものである。ある意味でこれはジーゲルとは矛盾しない。現代の理論はそれ自身の異なる方向性を持つものである。

その後の発展として、超関数 (hyperfunction) の理論や(楔の刃の定理)（英語版）が挙げられるが、それらはいずれも場の量子論からいくらかの着想を得たものである。その他、バナッハ環の理論など、多変数複素関数を利用する分野がいくつかある。

Cⁿ 空間

最も簡単なシュタイン多様体は、複素数の $n$ -組からなる空間 $C n$ （複素 $n$ -次元数空間）である。これは複素数体 $C$ 上の $n$ -次元ベクトル空間とみることができて、つまり $R$ 上の次元が $2 n$ である^[1]。したがって、集合および位相空間として、 $C n$ は $R 2 n$ と等しく、その位相次元は $2 n$ である。

座標に依らない形で述べるならば、複素数体上の任意のベクトル空間は、その2倍の次元を持つ実ベクトル空間と考えることができる。ここに複素構造は、虚数単位 $i$ によるスカラー倍を定義する線型作用素 $J$ （ $J 2 = - I$ をみたす）によって特定される。

そのような任意の空間は、実空間として向き付けられている。ガウス平面をデカルト平面と見做したとき、複素数 $w = u + iv$ を掛けるという操作は、実行列

{\begin{pmatrix}u&&-v\\v&&u\end{pmatrix}}

によって表現される。これは 2次実正方行列で、行列式は

u^{2}+v^{2}=|w|^{2}

となる。同様に、任意の有限次元複素線型作用素を実行列として表現すると（上述の形の 2×2 ブロックによって構成され）、その行列式は対応する複素行列式の絶対値の自乗に等しい。それは非負の数であり、このことは複素作用素によって空間の（実の）向き付けが逆になることはないことを意味する。同様のことは $C n$ から $C n$ への正則関数のヤコビ行列に対しても適用される。

参考文献

洋書

H. Behnke and P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen (1934)
Salomon Bochner and W. T. Martin Several Complex Variables (1948)
ラース・ヘルマンダー, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (1966) and later editions
Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables (1992)
Volker Scheidemann, Introduction to complex analysis in several variables, Birkhäuser, 2005, (ISBN 3-7643-7490-X)

和書

辻正次：「多複素變數函數論」, 岩波書店 (1935)．＃国立国会図書館に収蔵あり。
フランチェスコ・セヴェリ著・弥永昌吉訳：「多変数解析函数論講義」，岩波書店（1936年）．＃国立国会図書館に収蔵あり。
一松信：「多変数函数論」, 共立出版（現代数学講座） (1956)．
一松信：「多変数解析函数論」, 培風館 (1960)．＃ 2016年に復刻出版。
酒井栄一：「多変数関数論」, 共立全書 (1966)．
梶原壌二：「複素関数論」, 森北出版 (1968) ．＃ 2007年にPOD化して復刻出版。
ラース・ヘルマンダー著, 笠原乾吉訳：「多変数複素解析学入門」, 東京図書 (1973)．
倉田令二朗：「多変数関数論を学ぶ」, 数学セミナー連載（1977年7月号～1978年5月号）．＃ 2015年に単行本化。
中野茂男：「多変数函数論 ─微分幾何学的アプローチ─」, 朝倉書店 (1981)．
樋口禎一ほか：「多変数複素解析」, 培風館 (1984)．
西野利雄：「多変数函数論」, 東京大学出版会 (1996)．
大沢健夫：「多変数複素解析」, 岩波現代数学の展開 (1998)．＃ 2008年に単行本化．
山口博史：「複素関数」, 朝倉書店 (2003) ．＃ 2019年に復刻出版。
安達謙三：「多変数複素関数論」, 開成出版 (2003)．
若林功：「多変数関数論」, 共立出版 (2013)．
野口潤次郎：「多変数解析関数論 ─学部生へおくる岡の連接定理─」, 朝倉書店 (2013)．
大沢健夫：「多変数関数論の建設」, 現代数学社 (2014)．
倉田令二朗著（高瀬正仁解説）：「多変数複素関数論を学ぶ」, 日本評論社 (2015)．
安達謙三：「多変数複素解析入門」, 開成出版 (2016)．
大沢健夫：「多変数複素解析増補版」, 岩波書店 (2018)．
野口潤次郎：「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理─」, 朝倉書店 (2019)．
安達謙三：「多変数複素関数論序説」, 開成出版 (2021)．
野口潤次郎：「岡理論新入門：多変数関数論の基礎」, 培風館 (2021)．

[1] 複素数体は実数体上 2 次元ベクトル空間である。

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