スカラー四重積 は2つのクロス積 のドット積 である。
( a × b ) ⋅ ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} ここで a b c d
幾何学的には a b c d 射影 )を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式 )
( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = det ( a ⋅ c a ⋅ d b ⋅ c b ⋅ d ) {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\&=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} が成り立つ。
証明 スカラー三重積 の公式およびベクトル三重積 の公式を使えば
( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( ( a × b ) × c ) ⋅ d = ( ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a ) ⋅ d = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=(({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}} と導ける。
あるいは線形代数学 におけるビネ・コーシーの恒等式
∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) = ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) {\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)} を既知とすれば、n =3の特別な場合として、上記の式が得られる。
また、特別な場合である
‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}} も有用な公式で(ラグランジュの恒等式 )（英語版） と呼ばれる。
ベクトル四重積 は2つのクロス積のクロス積である。
( a × b ) × ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} ここで a b c d
幾何学的には a b c d
ベクトル三重積 の公式を使えば
( a × b ) × ( c × d ) = [ a , b , d ] c − [ a , b , c ] d = [ a , c , d ] b − [ b , c , d ] a {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}} が得られる。ただし [a b c a b c
2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X c d a b Y
[ a , b , c ] r = [ r , b , c ] a + [ a , r , c ] b + [ a , b , r ] c {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}} が得られる。
これは [a b c 基底 {a b c 正規直交基底 とは限らない)における r
( [ r , b , c ] [ a , b , c ] , [ a , r , c ] [ a , b , c ] , [ a , b , r ] [ a , b , c ] ) {\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)} であること示す。
あるいは、(a b c 行列 としたときの連立方程式
( a b c ) ( x y z ) = r {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}} に対するクラメルの公式
( x y z ) = 1 det ( a b c ) ( det ( r b c ) det ( a r c ) det ( a b r ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}} と同じである。
( a × b ) × ( a × c ) = [ a , b , c ] a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}} が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。
a b a c a a b c 一次従属 ([a b c 共面 であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a b c a
