和集合の公理

和集合の公理(わしゅうごうのこうり、axiom of union)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の集合に対し、その要素の要素全体からなる集合の存在を主張するものである。対の公理と合わせることで、任意の二つの集合に対し、それらの要素のみからなる集合((合併集合))の存在が導ける。

定義

任意の集合xに対しある集合yが存在して、任意の要素zに対し、zがyに含まれるならば、そのときに限りzを含むようなxの要素wが存在する。

すなわち形式的には、

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \exists w\,(z\in w\land w\in x)\,]}$ 

と書ける。

性質

公理の意味としては、任意に与えられた集合族の和が再び集合になるということである。 公理により存在を保証される集合yは、(外延性)より一意に定まり、${\displaystyle \bigcup x}$ と記される。特にxが二つの元のみからなる集合の場合、すなわちx={a,b}の場合は、${\displaystyle \bigcup \{a,b\}}$ と書く代わりに、${\displaystyle a\cup b}$ と書く。

参考文献

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、(ISBN 978-4-535-78382-9)
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2).

関連項目