友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）とは、異なる 2 つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう。親和数（しんわすう）とも呼ばれる。
最小の友愛数の組は (220, 284) である。
- 220 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 で、和は 284 となる。一方、284 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 71, 142 で、和は 220 である。
友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた（ダンブリクス Damblichus）。現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。
(220, 284) の次に求められた友愛数は (17296, 18416) である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより 60 余りの友愛数が求められている。
なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。
定義 異なる2つの自然数 n, m の組が友愛数であるとは
σ1(n) = σ1(m) = n + m となることである。ここで、σ1(n) 、σ1(m) は約数関数である。
友愛数の例 友愛数の組を小さい順に列記すると
- (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), …（オンライン整数列大辞典の数列 A063990）
小さい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002025、大きい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002046 を参照。
友愛数を生成する法則 注意点として、以下の法則は全ての友愛数の組に対して成立するわけではない。例えば、(220, 284), (17296, 18416), (9363584, 9437056) は法則を満たしているが、(6232, 6368) は友愛数であるにもかかわらず法則を満たさない。
サービト・イブン＝クッラの法則
850年頃にサービト・イブン＝クッラによって友愛数を求めることができる可能性のある関係式が導き出されている。
- p = 3 × 2n−1 − 1,
- q = 3 × 2n − 1,
- r = 9 × 22n−1 − 1,
ここで、n は 2 以上の整数、p, q, r は素数であるような n, p, q, r が存在したとき、2npq と 2nr は友愛数の対となる。
オイラーの法則
オイラーの法則は、サービト・イブン＝クッラの法則を一般化したものである。
- p = (2n−m + 1) × 2m − 1,
- q = (2n−m + 1) × 2n − 1,
- r = (2n−m + 1)2 × 2m+n − 1,
m は m < n を満たす正の整数としたとき、サービト・イブン＝クッラの法則と同様に 2npq と 2nr は友愛数の対となる。
サービト・イブン＝クッラの法則は、オイラーの法則の m = n − 1 の場合であるといえる。
未解決問題 参照：数学上の未解決問題
- x が大きいとき、x より小さい友愛数の個数は 以下であることが知られている。特に友愛数の逆数の和は収束する。
参考 - C. Pomerance, On the distribution of amicable numbers II, J. reine angew. Math. 325 (1981), 183--188.
- Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
関連項目外部リンク - Weisstein, Eric W. "Amicable Pair". MathWorld (英語).
- Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Rule". MathWorld (英語).
- Weisstein, Eric W. "Euler's Rule". MathWorld (英語).
- 友愛数の組 1京まで！（暗黒通信団）
友愛数, ゆうあいすう, amicable, numbers, とは, 異なる, つの自然数の組で, 自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう, 親和数, しんわすう, とも呼ばれる, 最小のの組は, である, の自分自身を除いた約数は, 和は, となる, 一方, の自分自身を除いた約数は, 和は, である, はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた, ダンブリクス, damblichus, 現在まで知られるの組は, すべて偶数同士または奇数同士の組である, の次に求められたは, 1729. 友愛数 ゆうあいすう 英 amicable numbers とは 異なる 2 つの自然数の組で 自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう 親和数 しんわすう とも呼ばれる 最小の友愛数の組は 220 284 である 220 の自分自身を除いた約数は 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 で 和は 284 となる 一方 284 の自分自身を除いた約数は 1 2 4 71 142 で 和は 220 である 友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた ダンブリクス Damblichus 現在まで知られる友愛数の組は すべて偶数同士または奇数同士の組である 220 284 の次に求められた友愛数は 17296 18416 である この友愛数はそれ以前にも求められていたが フェルマーにより再発見された その後 オイラーにより 60 余りの友愛数が求められている なお 自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には 完全数と呼ばれる 自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には その組を社交数という 目次 1 定義 2 友愛数の例 3 友愛数を生成する法則 3 1 サービト イブン クッラの法則 3 2 オイラーの法則 4 未解決問題 5 参考 6 関連項目 7 外部リンク定義 編集異なる2つの自然数 n m の組が友愛数であるとはs1 n s1 m n m となることである ここで s1 n s1 m は約数関数である 友愛数の例 編集友愛数の組を小さい順に列記すると 220 284 1184 1210 2620 2924 5020 5564 6232 6368 10744 10856 12285 14595 17296 18416 63020 76084 66928 66992 オンライン整数列大辞典の数列 A063990 小さい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002025 大きい方の数は オンライン整数列大辞典の数列 A002046 を参照 友愛数を生成する法則 編集注意点として 以下の法則は全ての友愛数の組に対して成立するわけではない 例えば 220 284 17296 18416 9363584 9437056 は法則を満たしているが 6232 6368 は友愛数であるにもかかわらず法則を満たさない サービト イブン クッラの法則 編集 850年頃にサービト イブン クッラによって友愛数を求めることができる可能性のある関係式が導き出されている p 3 2n 1 1 q 3 2n 1 r 9 22n 1 1 ここで n は 2 以上の整数 p q r は素数であるような n p q r が存在したとき 2npq と 2nr は友愛数の対となる オイラーの法則 編集 オイラーの法則は サービト イブン クッラの法則を一般化したものである p 2n m 1 2m 1 q 2n m 1 2n 1 r 2n m 1 2 2m n 1 m は m lt n を満たす正の整数としたとき サービト イブン クッラの法則と同様に 2npq と 2nr は友愛数の対となる サービト イブン クッラの法則は オイラーの法則の m n 1 の場合であるといえる 未解決問題 編集参照 数学上の未解決問題 友愛数の組は無数に存在するか x が大きいとき x より小さい友愛数の個数は x e log x 1 3 displaystyle xe log x frac 1 3 以下であることが知られている 特に友愛数の逆数の和は収束する 偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか 参考 編集C Pomerance On the distribution of amicable numbers II J reine angew Math 325 1981 183 188 Richard K Guy Unsolved problems in number theory 3rd edition Springer Verlag 2004 関連項目 編集完全数 婚約数 準友愛数 社交数 博士の愛した数式 作品の中で友愛数が登場する 友愛的三対 友愛数を社交数とは別の方向に拡張したもの 外部リンク 編集Weisstein Eric W Amicable Pair MathWorld 英語 Weisstein Eric W Thabit ibn Kurrah Rule MathWorld 英語 Weisstein Eric W Euler s Rule MathWorld 英語 友愛数の組 1京まで 暗黒通信団 https ja wikipedia org w index php title 友愛数 amp oldid 92072060 から取得, ウィキペディア、ウィキ、本、library、
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