加群の根基

数学において、加群の理論において、加群の根基 (radical) は構造と分類の理論の構成物である。それは環のジャコブソン根基の一般化である。いろいろな意味でそれは M の半単純成分 soc(M) の概念の双対概念である。

定義

 

R を環とし M を左 R-加群とする。M の部分加群 N は商 M/N が単純加群であるときに極大 (maximal) あるいは cosimple と呼ばれる。加群 M の根基 (radical) は M のすべての極大部分加群の共通部分である

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of M}}\}\,}$ 

同じことだが、

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of M}}\}\,}$ 

これらの定義は soc(M) に対して直接的な双対の類似をもつ。

性質

• rad(M) は余剰部分加群全体の和であるという事実に加えて、ネーター加群において rad(M) それ自身が余剰部分加群である。
• すべての右 R-加群 M に対して rad(M) ={0} であるような環を右 V-環 (right V-ring) と呼ぶ。
• 任意の加群 M に対して、rad(M/rad(M)) は 0 である。
• M が有限生成加群であることと M/rad(M) が有限生成かつ rad(M) が M の余剰部分加群であることは同値である。

関連項目

• 半単純成分
• ジャコブソン根基

参考文献

• (Alperin, J.L.); Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Springer-Verlag. pp. 136. ISBN (0-387-94526-1) 
• Anderson, Frank Wylie; Kent R. Fuller (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN (978-0-387-97845-1)