環 R 上の左加群 S ≠ {0} が非自明な部分 R -加群をもたないとき、S を単純加群 (たんじゅんかぐん、英 : simple module )または既約加群 (きやくかぐん、英 : irreducible module )という。これは任意の 0 ≠ x ∈ S について S = Rx となることと同値である。 これは左 R -加群の圏 R -Mod において、すべてのゼロでない準同型写像 S → M は単射 である、あるいはすべてのゼロでない準同型写像 M → S は全射 であることとしても特徴づけられる[1] 。 右加群に対しても同様に定義される。
例 有限 Z -加群はアーベル群 と同じなので、 単純 Z -加群とは {0} でない真の部分群をもたないアーベル群、つまり(位数 )が素数 の巡回群 である。 係数環 R が特に体 R = k のとき k -加群とは線型空間 なので、単純 k -加群とは 1 次元線型空間 k のことである。 (直前の例を一般化して)係数環 R が特に体 k 上の全行列環 R = Matn (k ) のとき 単純 R -加群は kn である。ただし環の作用は行列の乗法で定める。 複素数体 C 上の対称群 Sn に関する群環 C Sn の単純 C Sn -加群の同型類 は(シュペヒト加群 )(英語版) で与えられる。
性質 環 R の極大左イデアル L に対し、R /L は単純左加群である。逆に,すべての単純加群はこのようにして得られる[1] 。 (直前の性質より)単純加群は常に存在する[1] 。 単純加群は直既約加群 である。 単純加群は巡回加群 である。
脚注
参考文献 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』(第1版)日本評論社、2002年。ISBN (4-535-78367-5 )。 Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules . Graduate texts in mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN (0-387-97845-3 )
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