初等代数学 における二項定理 （にこうていり、英 : binomial theorem 二項展開 (binomial expansion ) とは、二項式 の冪 を代数的に展開 した式を記述するものである。
定理によれば、冪 (x + y )n n 次の項 a xn−k yk 総和 になる。ここで k は 0 ≤ k ≤ n 係数 a は二項係数 n , k ( n k )
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 , {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},} ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 , {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},} ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.} 二項係数 a を並べるとパスカルの三角形 となる。これらの数は組合せ論 においても現れ、( n k ) n 元-集合k 個の元 を選ぶ組合せ の総数を与える。
歴史 特別の場合の二項定理は古代より知られていた。紀元前4世紀(ギリシャの数学者 )エウクレイデス は冪指数 2 に対する特別の場合の二項定理に言及している[1] [2] [1] [2]
n 個の対象から重複無く k 個を選ぶ総数を表す組合せ論的量としての二項係数は、古代ヒンドゥーに着目されていた。この組合せ論的問題に対する言及として知られる最も古いものは、ヒンドゥーの詩人(ピンガラ )（英語版） (c. 200 B.C.) による Chandaḥśāstra で、それにはその解法も含まれている[3] :230 。紀元後10世紀に評者(ハラーユダ )（英語版） はこの解法を今日パスカルの三角形 と呼ばれるものを用いて説明した[3] n !/ (n −k )! k ! [4] バースカラ2世 の表した文書 Lilavati に見つけることができる[4]
そういった意味での二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者 (アル゠カラジ )（英語版） の業績にも見つけることができる[5] 数学的帰納法 を用いて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている[5] オマール・カヤーム は、その数学的業績のほとんどは失われてしまったが、恐らく高階の二項定理についてよく知っていた[2] 楊輝 [6] 朱世傑 [2] (賈憲 )（英語版） の書の方法に従った（それらもまた今日では失われてしまったが）[3] :142 。
1544年に(ミハエル・シュティーフェル )（英語版） は「二項係数」("binomial coefficient") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a )n (1 + a )n −1 [7] ブレーズ・パスカル は、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を(論文 )（英語版） Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち（例えばシュティーフェル、タルタリア 、シモン・ステヴィン など）には既に知られていた[7]
アイザック・ニュートン は任意の有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている[8] [7]
定理の主張 定理によれば、x + y
( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}}
(1 )
の形に表すことができる（数が零となる冪は 1 とし、その項の因子としてはしばしば省略する）。このときの係数 ( n k ) 二項係数 と呼び、正整数となる。この等式はしばしば(二項公式 )（ドイツ語版） 二項（恒）等式 とも呼ばれる。
総和 記号 Σ を用いれば
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{k}y^{n-k}} と書ける。最後の式は、x , y
二項公式の簡略版として、y = 1一変数 化がある：
( 1 + x ) n = ( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{k}.} 注 この定理は冪指数 n が自然数、x , y 単位的 可換環 の元のとき成り立つ。このとき、項 ( n k ) xn−k yk xn−k yk の整数 ( n k ) Z 加群 と見做している。 必ずしも可換でない一般の単位的環においても x と y が可換である（つまり xy = yx xn と yn の項を分けて書けば単位元の存在も仮定しなくてよい： ( x + y ) n = x n + ∑ k = 1 n − 1 ( n k ) x n − k y k + y n . {\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n-1}\displaystyle {\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y^{n}.} 定理の主張を、多項式列 {1, x , x 2 , …} 二項型 であると述べることもできる。
証明 帰納的証明 n = 0 ( x + y ) 0 = 1 = ( 0 0 ) x 0 y 0 , {\displaystyle (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0},} n = 1 ( x + y ) 1 = x + y = ( 1 0 ) x 1 y 0 + ( 1 1 ) x 0 y 1 {\displaystyle (x+y)^{1}=x+y={1 \choose 0}x^{1}y^{0}+{1 \choose 1}x^{0}y^{1}} が主張を満たすことは明らか。以下 n は 1 以上の整数として n に関する帰納法で示す。
自然数 n について成り立つと仮定する。すると
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{n-k}y^{k}} が成り立つから、分配法則 によって
( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = x n + 1 + x ∑ k = 1 n ( n k ) x n − k y k + y ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) x n − k y k + y n + 1 = x n + 1 + ∑ k = 1 n [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x n − k + 1 y k + y n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{n-k}y^{k}\\&=x^{n+1}+x~\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle {n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}\displaystyle {n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}\\&=x^{n+1}+\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle \left\lbrack {n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}\end{aligned}}} となり、(パスカルの法則 )（英語版） を用いて
( x + y ) n + 1 = x n + 1 + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) x n − k + 1 y k + y n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) x n − k + 1 y k {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=x^{n+1}+\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle {{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\displaystyle {{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}\end{aligned}}} を得る。これは所期の式である[9]
組合せ論的証明 n 個の (x + y ) [10]
( x + y ) n = ( x + y ) ( x + y ) ⋯ ( x + y ) ⏟ n factors {\displaystyle (x+y)^{n}=\underbrace {(x+y)(x+y)\cdots (x+y)} _{n{\text{ factors}}}} 一度に展開すると、それぞれの (x + y ) x または y を取った文字 n 個の積の総和 となる。
これらの積のうち、並び替えて x n −k yk (i = 0, 1, …, n )(n − k ) x 、k 個の y を並べる場合の数だけあるから、二項係数 ( n k ) x n −k yk n k
注 等式 ( X + Y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) X n − k Y k {\displaystyle (X+Y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}X^{n-k}Y^{k}} において n 個の Y を区別して Y 1 , Y 2 , …, Yn 基本対称式 （英語版） σk を用いて ∏ i = 1 n ( X + Y i ) = ∑ k = 0 n σ k ( Y 1 , … , Y n ) X n − k {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(X+Y_{i})=\sum \limits _{k=0}^{n}\sigma _{k}(Y_{1},\ldots ,Y_{n})X^{n-k}} と書ける。
一般化 ニュートンの一般化された二項定理 1665年ごろアイザック・ニュートン は定理を一般化して非整数冪に対する公式（ニュートンの一般二項定理 ）を得た[11] 級数 で置き換えられなければならない。またこの一般化を行うために二項係数 ( n k ) n を任意の値としなければならないから、二項係数を階乗を用いて表すこともできない。一般化された二項係数を任意の数 r に対して
( r k ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! = ( r ) k k ! {\displaystyle {r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}} で定義する。右辺の (•)k はポッホハマー記号 で、ここでは下方階乗 を表す。このとき x, y が |x | > |y | [注 1] r を任意の複素数 として
( x + y ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x r − k y k = x r + r x r − 1 y + r ( r − 1 ) 2 ! x r − 2 y 2 + r ( r − 1 ) ( r − 2 ) 3 ! x r − 3 y 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\dotsb \end{aligned}}}
(2 )
が成り立つ。r が非負整数のとき、k > r 1 r + 1r がそれ以外の値のときは級数 (2) は（少なくとも x, y が非零のとき）無数の非零項を持つ。
これは無限級数を扱っていてそれを(一般化超幾何函数 )（英語版） で表そうとするときに重要である。
r = −s
1 ( 1 − x ) s = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 k ) x k ≡ ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) x k {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}x^{k}} を得る。これをさらに s = 1幾何級数 を得る。
注 式 (2 x , y |x | > |y | [注 1] x を中心とする半径 |x | の開円板上で定義されたlog の正則 な枝を用いて x + y x の冪を定義しなければならない。 式 (2 x , y バナッハ代数 の元であるときも、xy = yx x が可逆で ‖ y /x ‖ < 1 多項定理 二項定理を二項より多くの項の和の冪に対して一般化することができる。すなわち
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}} が成り立つ。ここで和は、非負整数列 k 1 , …, km n に等しいもの全体に亙って取る（つまり上記の展開の右辺の式は各項が全次数 n の斉次多項式である）。この展開の係数 ( n k 1 , …,k m )
( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} なる値を持つ。組合せ論的には、多項係数 ( n k 1 , …,km ) n 元集合を各位数が k 1 , …, km 互いに素 な部分集合へ分割 する方法の総数を表す。
多重二項定理 二項式の積を扱うために、より次元の高いところでも二項定理はしばしば有用である。二項定理により等式
( x 1 + y 1 ) n 1 ⋯ ( x d + y d ) n d = ∑ k 1 = 0 n 1 ⋯ ∑ k d = 0 n d ( n 1 k 1 ) x 1 k 1 y 1 n 1 − k 1 … ( n d k d ) x d k d y d n d − k d {\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\,x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc \;{\binom {n_{d}}{k_{d}}}\,x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}} が成り立つ。この式は多重添字記法 を用いれば
( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }} とより簡潔に表される。
応用 三角函数の多倍角公式 複素数 に対する二項定理とド・モアブルの定理 を合わせれば、正弦函数 および余弦函数 の多倍角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば
cos ( n x ) + i sin ( n x ) = ( cos x + i sin x ) n {\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}} が成り立つから、二項定理を用いて右辺を展開して実部と虚部を比較すれば cos(nx ) sin(nx )
( cos x + i sin x ) 2 = cos 2 x + 2 i cos x sin x − sin 2 x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x} から倍角公式
cos ( 2 x ) = cos 2 x − sin 2 x , sin ( 2 x ) = 2 cos x sin x {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x,\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x} を得る。同様に
( cos x + i sin x ) 3 = cos 3 x + 3 i cos 2 x sin x − 3 cos x sin 2 x − i sin 3 x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x} から三倍角公式
cos ( 3 x ) = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x , sin ( 3 x ) = 3 cos 2 x sin x − sin 3 x {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x,\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x} を得る。一般に
cos ( n x ) = ∑ k : even ( − 1 ) k / 2 ( n k ) cos n − k x sin k x , sin ( n x ) = ∑ k : odd ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ( n k ) cos n − k x sin k x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\sum _{k{\text{: even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x,\\\sin(nx)&=\sum _{k{\text{: odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x\end{aligned}}} となる。
e の級数表示ネイピア数 e を極限
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} で定義するとき、二項定理を用いれば e の級数表示を得る。特に
( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ( n 3 ) 1 n 3 + ⋯ + ( n n ) 1 n n {\displaystyle \textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}} であり、この和の第 k 項
( n k ) 1 n k = 1 k ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}} は n → ∞1 に収束するから
lim n → ∞ ( n k ) 1 n k = 1 k ! . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.} よって e は級数として
e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ {\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\dotsb } と書ける。
実際、上記の二項展開は n に関して単調増加 だから、単調収束定理 により上記の無限級数は実際に e に等しい。
冪函数の微分 整数 n に対する冪函数 f (x ) = x n (x + h )n
一般ライプニッツ則 二つの函数の積の高階導函数に対する公式を導くのに、二項定理が記号的に利用される[12] t の函数 exp((x + y )t ) exp((x + y )t ) = exp(xt )exp(yt ) t で n 回微分すれば、一般ライプニッツ則により
( x + y ) n exp ( ( x + y ) t ) = d n ( exp ( x t ) exp ( y t ) ) d t n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k exp ( x t ) y k exp ( y t ) {\displaystyle (x+y)^{n}\exp((x+y)t)={\frac {d^{n}(\exp(xt)\exp(yt))}{dt^{n}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\exp(xt)\,y^{k}\exp(yt)} を得るから、両辺を exp(xt )exp(yt )
脚注・参照 脚注 ^ a b これは収束を保証する。r によっては、この級数が |x | = |y | 参照 ^ a b Weisstein, Eric W . "Binomial Theorem ". MathWorld ^ a b c d Coolidge, J. L. (1949). “The Story of the Binomial Theorem”. The American Mathematical Monthly 56 (3): 147-157. http://www.jstor.org/pss/2305028 . ^ a b c Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics . Springer ^ a b Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. Historia Math. 6 (2): 109-136. doi :10.1016/0315-0860(79)90074-0. ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , “Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji”, MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews , https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html ^ Landau, James A. (1999年5月8日). “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle” (mailing list email). Archives of Historia Matematica . 2007年4月13日 閲覧。 ^ a b c Kline, Morris (1972). History of mathematical thought . Oxford University Press. p. 273 ^ Bourbaki, N. J. Meldrum訳 (1998-11-18). Elements of the History of Mathematics Paperback . ISBN (978-3540647676 ) ^ Démonstration par récurrence en vidéo. ^ Binôme de Newton : approche par dénombrement. - YouTube ^ https://books.google.co.jp/books?id=jPgQLOnnEbUC&pg=PA29 ^ Seely, Robert T. (1973). Calculus of One and Several Variables . Glenview: Scott, Foresman. ISBN (0-673-07779-9 )
関連文献 Bag, Amulya Kumar (1966). “Binomial theorem in ancient India”. Indian J. History Sci 1 (1): 68-74. Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). “(5) Binomial Coefficients”. Concrete Mathematics ISBN (0-201-55802-5 ). OCLC 17649857
外部リンク
ウィキブックスにBinomial Theorem 関連の解説書・教科書があります。
日本大百科全書(ニッポニカ)『(二項定理 )』 - コトバンク 『二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明』 - 高校数学の美しい物語 Weisstein, Eric W . "Binomial Theorem ". MathWorld Weisstein, Eric W . "Binomial Series ". MathWorld Weisstein, Eric W . "Negative Binomial Series ". MathWorld Solomentsev, E. D. (2001), "Binomial series", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 Solomentsev, E.D. (2001), "Newton binomial", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 Wolframデモンストレーションプロジェクト Binomial Theorem スティーブン・ウルフラム Binomial Theorem (Step-by-Step) by Bruce Colletti and Jeff Bryant. 