一様凸空間

数学において一様凸空間（いちようとつくうかん、英: uniformly convex space）あるいは一様円形空間（uniformly rotund space）は、回帰的バナッハ空間の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年に(ジェームス・A・クラークソン)（英語版）によって初めて導入された。

定義

一様凸空間とは、すべての ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$  に対して、ある ${\displaystyle \delta >0}$  が存在し、${\displaystyle \|x\|=1}$ , ${\displaystyle \|y\|=1}$  を満たす二つの任意のベクトルに対して

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ 

ならば

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$ 

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

性質

• (ミルマン＝ペティスの定理)（英語版）によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$  が一様凸バナッハ空間において ${\displaystyle f}$  に弱収束する列で ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|}$  を満たすなら、${\displaystyle f_{n}}$  は ${\displaystyle f}$  に強収束する: ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}$ 
• バナッハ空間 ${\displaystyle X}$  が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 ${\displaystyle X^{*}}$  が(一様滑らか)（英語版）であることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

例

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• (ハンナーの不等式)（英語版）によると、L^p 空間（${\displaystyle 1<p<\infty }$ ）は一様凸である。
• ${\displaystyle L^{\infty }}$  は一様凸ではない。

関連項目

• (凸度と凸特性数)（英語版）
• 凸函数
• (一様に滑らかな空間)（英語版）

参考文献

• Clarkson, J. A. (1936). “Uniformly convex spaces”. Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630 .
• Hanner, O. (1956). “On the uniform convexity of ${\displaystyle L^{p}}$  and ${\displaystyle l^{p}}$ ”. Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410 .

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN (0-444-86416-4) 
• Per Enflo (1972). “Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm”. Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802. 
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.