ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、(ポール・ヴォイタ)（英語版）(Paul Vojta)1987により導入された、代数体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析のネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

${\displaystyle F}$  を数体とし、${\displaystyle X/F}$  非特異代数多様体、${\displaystyle D}$  を ${\displaystyle X}$  上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、${\displaystyle H}$  を ${\displaystyle X}$  の上の豊富な因子、${\displaystyle K_{X}}$  を ${\displaystyle X}$  の標準因子とする。${\displaystyle h_{H}}$  と ${\displaystyle h_{K_{X}}}$  をヴェイユの高さ函数を選び、${\displaystyle F}$  上の各々の絶対値 ${\displaystyle v}$  に対し、局所高さ函数を ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$  とする。${\displaystyle F}$  の絶対値 ${\displaystyle S}$  の有限集合を固定し、${\displaystyle \epsilon >0}$  とすると、上記の選択に依存しない定数 ${\displaystyle C}$  と空でないザリスキー開集合 ${\displaystyle U\subseteq X}$  が存在し、全ての ${\displaystyle P\in U(F)}$  に対し、

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C}$ 

を満たす。

例

１、 ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$  とすると、${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$  であるので、ヴォイタ予想からは、すべての${\displaystyle P\in U(F)}$  に対し、

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$ 

であることが分かる。

２、 ${\displaystyle X}$  を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、${\displaystyle D}$  を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 ${\displaystyle X\setminus D}$  上の ${\displaystyle S}$ -整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。

３、 ${\displaystyle X}$  を一般型の多様体、つまり、${\displaystyle K_{X}}$  が ${\displaystyle X}$  のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、${\displaystyle S=\emptyset }$  に対し、ヴォイタ予想は、${\displaystyle X(F)}$  は ${\displaystyle X}$  上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、(ボンビエリ・ラング予想)（英語版）(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

${\displaystyle P}$  が ${\displaystyle X({\overline {F}})}$  の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 ${\displaystyle F(P)/F}$  の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$  が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

• Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN (978-3-540-17551-3), MR883451