モーメント (数学)

この項目では、数学のモーメントについて説明しています。確率論のモーメントについては「モーメント (確率論)」を、物理量のモーメントについては「モーメント」をご覧ください。

数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数 x に関する関数 f(x) の n 次モーメント ${\displaystyle \mu _{n}^{(0)}}$ は、

${\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx}$

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。${\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/\mu _{0}^{(0)}}$ は f を密度関数とする測度の重心を表している。

関数 f(x) の c 周りの n 次モーメント ${\displaystyle \mu _{n}^{(c)}}$ は、

${\displaystyle \mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx}$

で表される。

重心周りのモーメント μ_n = μ^(μ)_n を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント

詳細は「モーメント (確率論)」を参照

確率密度関数 f(x) のモーメントには、次のような(要約統計量)としての意味付けがある。

• 全測度は1：${\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=1}$  。
• ${\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}}$  は x の平均値。
• ${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}=\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}}$  は分散、${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}}$  は標準偏差。
• ${\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/\sigma ^{3}}$  は歪度。
• ${\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/\sigma ^{4}-3}$  は尖度。

変量統計のモーメント

変量統計における、データ x₁, …, x_N のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では

${\displaystyle \mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}}$ 

と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では

${\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}}$ 

と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

• ${\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=N}$ 。
• ${\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/N}$  は平均値。
• ${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N}$  は分散、${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}}$  は標準偏差。
• ${\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}}$  は歪度。
• ${\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/N\sigma ^{4}-3}$  は尖度。

画像のモーメント

2変数関数 f(x, y) の (m + n) 次モーメント ${\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}}$  は、

${\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{m}y^{n}f(x,y)\,dxdy}$ 

または、デジタル画像に対しては、

${\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\sum _{x}\sum _{y}x^{m}y^{n}f(x,y)}$ 

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

• ${\displaystyle \mu _{00}^{(0)}}$  は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
• 点 ${\displaystyle (\mu _{10}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)},\mu _{01}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)})}$  は重心。
• 慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは${\displaystyle \tan \theta }$  で、θ は${\displaystyle \tan 2\theta =2\mu _{11}^{(0)}/(\mu _{20}^{(0)}-\mu _{02}^{(0)})}$  を満たす。
• 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを ${\displaystyle \mu _{00}^{(0)}}$  で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Moment". MathWorld (英語).
• アンドレイ・コルモゴロフ 著、根本伸司 訳『確率論の基礎概念』（新装版）東京図書、1988年。(ISBN 978-4489002700)。 
• 舟木直久『確率論』朝倉書店〈講座数学の考え方〉、2004年。(ISBN 978-4254116007)。