ブロカールの問題

ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、英: Brocard's problem) とは、

${\displaystyle n!+1=m^{2}}$

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。(アンリ・ブロカール)（英語版）が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数

上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 (英: Brown numbers) と呼ばれる。ブラウン数の組は

(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 (A146968)、大きい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 (A216071)を参照）

の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。Overholt (1993) は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。Berndt & Galway (2000) は10⁹までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

一般化

Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$ 

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると ${\displaystyle k^{2}-A}$  は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。その後、京都大学の望月新一（日本）によってABC予想が証明され（2020）、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。Luca (2002)はこれをさらに一般化し、 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して

${\displaystyle n!=P(x)}$ 

を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。

指数が2より大きい場合、および ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=n!}$  の形の方程式については Erdős & Obláth (1937) が既に

${\displaystyle x^{m}+y^{m}=n!(\gcd(x,y)=1,m\geq 2)}$ 

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

${\displaystyle x^{m}-y^{m}=n!(x>y,\gcd(x,y)=1,m\geq 3)}$ 

は m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

${\displaystyle m!\pm n!=x^{k}(m>n>0,k\geq 2)}$ 

の解は有限個であることも示している。その後Pollack & Shapiro (1973) が

${\displaystyle x^{4}-1=n!}$ 

は解を持たないことを示している。

参考文献

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .
• Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
• Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
• Dabrowski, A. (1996), “On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .
• Erdős, Paul; Obláth, Richard (1937), “Über diophantische Gleichungen der Form ${\displaystyle n!=x^{p}\pm y^{p}}$  und ${\displaystyle n!\pm m!=x^{p}}$ ”, Acta Litt. Sci. Szeged 8: 241-255, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1937-09.pdf .
• Guy, R. K. (1994), “D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN (0-387-90593-6) .
• Luca, Florian (2002), “The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt”, Glasnik Matematički 37 (57): 269–273, http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf .
• Overholt, Marius (1993), “The diophantine equation n! + 1 = m²”, Bull. London Math. Soc. 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104 .
• Pollack, Richard M.; Shapiro, Harold N. (1973), “The next to last case of a factorial diophantine equation”, Comm. Pure Appl. Math. 26: 313-325, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160260303/abstract .

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Brocard's Problem". MathWorld (英語).
• Weisstein, Eric W. "Brown Numbers". MathWorld (英語).
• Copeland, Ed. “Brown Numbers”. Numberphile. Brady Haran. 2014年8月29日閲覧。