フルヴィッツのゼータ函数 (Hurwitz zeta function) はゼータ函数 の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツ に因む。フルヴィッツのゼータ函数は、Re(s ) > 1 なる s と Re(q ) > 0 なる q の 2 つの複素数 に対して、形式的に以下のように定義される。
ζ ( s , q ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( q + n ) s . {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.} この級数 は与えられた値 s と q に対し絶対収束 し、また s ≠ 1 なるすべての s に対して定義される有理型函数 へ拡張することができる。フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数 の拡張であり、リーマンゼータ函数 はフルヴィッツのゼータ函数を用いて ζ (s , 1) と表される。
解析接続 Re(s ) ≤ 1 であれば、フルヴィッツのゼータ函数は、式
ζ ( s , q ) = Γ ( 1 − s ) 1 2 π i ∫ C z s − 1 e q z 1 − e z d z {\displaystyle \zeta (s,q)=\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {z^{s-1}e^{qz}}{1-e^{z}}}dz} で定義することができる。この積分路 (contour) C は負の実軸を回るループである。この定義は、 ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)} の解析接続をもたらす。
フルヴィッツのゼータ函数は、s ≠ 1 である全ての複素数 s に対して定義される有理型函数 へ解析接続 により拡張される。また、s = 1 で、留数 が 1 である(単純極 )を持つ。定数項は、
lim s → 1 [ ζ ( s , q ) − 1 s − 1 ] = − Γ ′ ( q ) Γ ( q ) = − ψ ( q ) {\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)} で与えられる。ここに Γ はガンマ函数 であり、ψ はディガンマ函数 である。
級数による表現 ℜ q > 0 {\displaystyle \Re \,q>0} と s ≠ 1 {\displaystyle s\neq 1} である任意の複素数 (ただし ℜ q {\displaystyle \Re \,q} は q の実部を表す) で定義されるフルヴィッツのゼータ函数の(ニュートン級数 )(英語版) (Newton series) による表現は、1930年に ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) により、[1]
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) 1 − s {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}} として与えられた。
この級数は、s -平面のコンパクトな部分集合 の上で整函数 へ均一に収束し、内部の和は q 1 − s {\displaystyle q^{1-s}} の n -次差分 であると理解することができる。すなわち、
Δ n q 1 − s = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( q + k ) 1 − s {\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}} が成り立つ。ここに Δ は、差分作用素 である。従って、次のように書くことができる。
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 Δ n q 1 − s = 1 s − 1 log ( 1 + Δ ) Δ q 1 − s . {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.\end{aligned}}}
積分表現 フルヴィッツのゼータ函数は、メリン変換 により積分表現され、 ℜ s > 1 {\displaystyle \Re \,s>1} と ℜ q > 0 {\displaystyle \Re \,q>0} に対し、
ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt} と表すことができる。
フルヴィッツの公式 フルヴィッツの公式とは、
ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s [ e − i π s / 2 β ( x ; s ) + e i π s / 2 β ( 1 − x ; s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]} という定理である。ここに、
β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})} は、 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} と s > 1 {\displaystyle s>1} に対して、ゼータ函数の有効な表現である。また、ここの Li s ( z ) {\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)} は多重対数関数 である。
函数等式 函数等式 は、複素平面内でゼータ函数の右辺と左辺の値を関連付ける。整数 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} に対し、
ζ ( 1 − s , m n ) = 2 Γ ( s ) ( 2 π n ) s ∑ k = 1 n [ cos ( π s 2 − 2 π k m n ) ζ ( s , k n ) ] {\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]} が、s の全ての値に対して成立する。
テイラー展開 フルヴィッツのゼータ函数の第二引数での微分は、シフト (shift) と見ることができる。
∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).} 従って、テイラー級数 は次のように表せる。
ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).} この代わりに | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} に対し、
ζ ( s , q ) = 1 q s + ∑ n = 0 ∞ ( − q ) n ( s + n − 1 n ) ζ ( s + n ) {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n)} が成立する[2] 。
スターク・ケイパーの公式 (Stark–Keiper formula)
ζ ( s , N ) = ∑ k = 0 ∞ [ N + s − 1 k + 1 ] ( s + k − 1 s − 1 ) ( − 1 ) k ζ ( s + k , N ) {\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)} は、これと密接に関連していて、整数 N と任意の s に対して成り立つ。整数のべきの有限和についての同様な関係式については、ファウルハーバーの公式 を参照。
ローラン級数 ローラン級数 展開は、次の級数の中のスティルチェス定数 (Stieltjes constants) を定義することに使うことができる。
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( q ) ( s − 1 ) n . {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.} 特に、 γ 0 ( q ) = − ψ ( q ) {\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)} and γ 0 ( 1 ) = − ψ ( 1 ) = γ 0 = γ {\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma } である。
フーリエ変換
ベルヌーイ多項式との関係 上で定義した函数 β {\displaystyle \beta } は、ベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials)
B n ( x ) = − ℜ [ ( − i ) n β ( x ; n ) ] {\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]} を一般化する。ここに ℜ z {\displaystyle \Re \,z} は z の実部を表す。代わりに、
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}} と書く。
特に、 n = 0 {\displaystyle n=0} に対して関係式は保たれ、
ζ ( 0 , x ) = 1 2 − x {\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x} を得る。
ヤコビのテータ函数との関係 ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} をヤコビのテータ函数 とすると、
∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]} が、 ℜ s > 0 {\displaystyle \Re \,s>0} となる複素数 s と、整数を除く複素数 z に対して成立する。z = n が整数の場合は、この式が単純化できて、
∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2 π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} となる。ここの ζ はリーマンゼータ函数 である。この後者の式は、リーマンによりもともと与えられたが、リーマンゼータ函数の函数等式 であることに注意する。この z が整数であることとそうでないことの差異は、ヤコビのテータ函数が t → 0 {\displaystyle t\rightarrow 0} のときに z についてくし型関数 (周期的デルタ函数 )へ収束するという事実による。
ディリクレのL -函数との関係 有理数の引数に対してフルヴィッツのゼータ函数は、ディリクレのL-函数 の線型結合とは、相互に表される関係にある。フルヴィッツのゼータ函数は、q = 1 のときにはリーマンゼータ函数 ζ (s ) に一致する。q = 1/2 のときには、フルヴィッツのゼータ函数は (2s −1)ζ (s ) [3] に等しくなり、k > 2 のとき、q = n /k で (n ,k ) > 1 かつ 0 < n < k に対しては、mod k のディリクレ指標 の全てを渡る和として、
ζ ( s , n / k ) = k s φ ( k ) ∑ χ χ ¯ ( n ) L ( s , χ ) {\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi )} となる[4] 。反対に、線型結合
L ( s , χ ) = 1 k s ∑ n = 1 k χ ( n ) ζ ( s , n k ) {\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)} で、フルヴィッツのゼータ函数を表すこともできる[3] 。
乗法定理 (multiplication theorem)
k s ζ ( s ) = ∑ n = 1 k ζ ( s , n k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)} もあり、この定理の有益な一般化は、分布関係 (distribution relation)[5]
∑ p = 0 q − 1 ζ ( s , a + p / q ) = q s ζ ( s , q a ) {\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)} である(最後の式は q が自然数で、1 − qa が自然数でない場合はいつでも有効である)。
ゼロ点 q = 1 であれば、フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数 自体となり、q = 1/2 であれば、リーマンゼータ函数に複素変数 x の単純な函数をかけたものとなる(上記参照)。どちらの場合も、リーマンゼータ函数のゼロ点の難しい研究へ繋がっている。特に、実部が 1 よりも大きなところにはゼロ点は存在しない。しかし、0 < q < 1 で、かつ q ≠ 1/2 であれば、フルヴィッツのゼータ函数は任意の正の実数 ε に対し帯状領域 1 < Re(s ) < 1+ε でゼロ点を持つ。このことは、q が有理数の場合と非代数的な無理数の場合に、ハロルド・ダヴェンポート (Harold Davenport) と(ハンス・ハイルブロン )(英語版) (Hans Heilbronn) により証明され[6] 、代数的な無理数 q に対しては、(J. W. S. キャスルズ )(英語版) (J. W. S. Cassels) により証明された[7] [3] 。
有理数値 フルヴィッツのゼータ函数は、有理数での多くの印象的な恒等式の形をとる[8] 。特に、オイラー多項式 (Euler polynomial) E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} の項[9] は、
E 2 n − 1 ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! ( 2 π q ) 2 n ∑ k = 1 q ζ ( 2 n , 2 k − 1 2 q ) cos ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} と
E 2 n ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! ( 2 π q ) 2 n + 1 ∑ k = 1 q ζ ( 2 n + 1 , 2 k − 1 2 q ) sin ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} である。
また、等式
ζ ( s , 2 p − 1 2 q ) = 2 ( 2 q ) s − 1 ∑ k = 1 q [ C s ( k q ) cos ( ( 2 p − 1 ) π k q ) + S s ( k q ) sin ( ( 2 p − 1 ) π k q ) ] {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]} も 1 ≤ p ≤ q {\displaystyle 1\leq p\leq q} に対して成り立つ。ここに、 C ν ( x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)} と S ν ( x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)} はルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function) χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} を使い、
C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})} と
S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix})} である。
整数の値 ν に対し、これらはオイラー多項式の項で表現される。これらの関係式は、上記のフルヴィッツ公式と函数等式を使い得ることができる。
応用
特殊な場合と一般化 正の整数 m に対するフルヴィッツのゼータ函数は、ポリガンマ函数
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)} に関係している。負の整数 −n に対して、値はベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials) [11]
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}} に関係している。
バーンズのゼータ函数 (Barnes zeta function) は、フルヴィッツのゼータ函数を一般化したものである。
(レルヒのゼータ函数 )(英語版) (Lerch transcendent) も、フルヴィッツのゼータ函数を次のように一般化したものである。
Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} であるので、
ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)} となる。
超幾何級数
a 1 = a 2 = … = a s = a {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a} かつ a ∉ N {\displaystyle a\notin \mathbb {N} } かつ s ∈ N + {\displaystyle s\in \mathbb {N} ^{+}} のとき、 ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , … a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , … a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} である。(メイジャーのG-函数 )(英語版) (Meijer G-function)
ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}
脚注 ^ Hasse, Helmut (1930), “Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe”, (Mathematische Zeitschrift ) 32 (1): 458–464, doi :10.1007/BF01194645 ^ Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv :(math/0702243 ) 。 ^ a b c Davenport (1967) p.73 ^ Lowry, David. “Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa”. mixedmath . 2013年2月8日 閲覧。 ^ (Kubert, Daniel S. ); Lang, Serge (1981). Modular Units . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244 . Springer-Verlag . p. 13. ISBN (0-387-90517-0 ). Zbl 0492.12002 ^ Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936), “On the zeros of certain Dirichlet series”, Journal of the London Mathematical Society 11 (3): 181–185, doi :10.1112/jlms/s1-11.3.181 ^ Cassels, J. W. S. (1961), “Footnote to a note of Davenport and Heilbronn”, Journal of the London Mathematical Society 36 (1): 177–184, doi :10.1112/jlms/s1-36.1.177 ^ Given by Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), “Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments”, Mathematics of Computation 68 (228): 1623–1630, Bibcode : 1999MaCom..68.1623C, doi :10.1090/S0025-5718-99-01091-1 ^ ベルヌーイ多項式とオイラー多項式やそれらの関係は、英語版では同じ記事ベルヌーイ多項式 の中に記載されている。 ^ Schwinger, J. (1951), “On gauge invariance and vacuum polarization”, Physical Review 82 (5): 664–679, Bibcode : 1951PhRv...82..664S, doi :10.1103/PhysRev.82.664 ^ Apostol (1976) p.264
参考文献 Apostol, T. M. (2010), “フルヴィッツのゼータ函数”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN (978-0521192255 ), http://dlmf.nist.gov/25.11 See chapter 12 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN (978-0-387-90163-3 ), MR 0434929, Zbl 0335.10001 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. (ISBN 0-486-61272-4 ). (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.) (Davenport, Harold ) (1967). Multiplicative number theory . Lectures in advanced mathematics. 1 . Chicago: Markham. Zbl 0159.06303 Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). “Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments”. Journal of Computational and Applied Mathematics 100 : 201–206. doi :10.1016/S0377-0427(98)00193-9. http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/hurwitz.htm . “The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta”. 2014年1月21日 閲覧。 Mező, István; Dil, Ayhan (2010). “Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function”. Journal of Number Theory 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005.
外部リンク Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein . "Hurwitz Zeta Function ". MathWorld (英語).