数学 、特に線型代数 において、パフィアン (ぱふぃあん、英 : Pfaffian )もしくはパッフィアン とは、偶数次の交代行列 に対して定義される斉次多項式 で、行列式 の平方根 根号 を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列 の場合は行列の要素の多項式 で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。
なお奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に0 になる事が知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も0 になる。
表現論 や組合せ論 において応用されるほか、数理物理においては、可積分系 の方程式のソリトン 解の表示や(可解格子 )の一種であるダイマー模型 の分配関数 の計算等に応用される[1] アーサー・ケイリー によって名づけられたものであり[2] (J. F. パフ )（英語版） に因むものである[3]
定義 一般的定義 2n 次の交代行列 A = (a ij 1≦i , j ≦2n (a ij a ji
Pf ( A ) = ∑ σ ∈ F 2 n sgn ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\sigma \in F_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}} で定義される n 次の斉次多項式 Pf(A ) を n 次のパフィアン と呼ぶ。但し、F 2n 2n 次の対称群 S 2n
F 2 n = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( 1 ≤ i ≤ n ) , σ ( 1 ) < σ ( 3 ) ⋯ < σ ( 2 n − 1 ) } {\displaystyle F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (1\leq i\leq n),\,\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}} を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、
Pf ( A ) = 1 2 n n ! ∑ σ ∈ S 2 n sgn ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) = 1 n ! ∑ σ ∈ F 2 n ′ sgn ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in F_{2n}'}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{aligned}}} という表示も可能である。但し、
F 2 n ′ = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( i = 1 , ⋯ , n ) } {\displaystyle F_{2n}'=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (i=1,\cdots ,n)\}} である。
外積代数による導入 ベクトル空間 V の基底 e 1 , e 2 , …, e 2n 外積代数 Λ(V ) における2形式
ω = ∑ i < j a i j e i ∧ e j ( a i j = − a j i ) {\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}\quad (a_{ij}=-a_{ji})} を定義すると、その n 乗の外積 は
∧ n ω = ω ∧ ω ∧ ⋯ ∧ ω = 1 n ! Pf ( A ) e 1 ∧ e 2 ∧ ⋯ ∧ e 2 n {\displaystyle \wedge ^{\,n}\omega =\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega ={\frac {1}{n!}}\operatorname {Pf} (A)e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}} であり、自然な形でパフィアンが現れる。
記法 パフィアンを表す記法としては、Pf(A ) のほかに、行と列の区別を排した
Pf ( a 1 , a 2 , ⋯ , a 2 n ) , Pf ( 1 , 2 , ⋯ , 2 n ) ( Pf ( a i , a j ) = a i j ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{2n}),\,\,\,\operatorname {Pf} (1,2,\cdots ,2n)\quad (\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})=a_{ij})} といった記法がある。また、スコットランドの数学者(トーマス・ミューア )（英語版） によって導入された行列式の記法 |A | において右上半分だけ表示する、
| a 12 a 13 ⋯ a 12 n a 23 ⋯ a 22 n ⋱ ⋮ a 2 n − 12 n | {\displaystyle \left.{\begin{matrix}|a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{12n}\\&a_{23}&\cdots &a_{22n}\\&&\ddots &\vdots \\&&&a_{2n-12n}\end{matrix}}\right|} も用いられる。
例 便宜上、F 2n 置換 σ を順列 (σ (1), …, σ (2n )) の形で表すこととする。
n = 1n = 1F 2 (1, 2) だけであり、その符号 sgn(σ ) は +1 であるから、
Pf ( A ) = a 12 {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}} となる。
n = 2n = 2F 4 (1, 2, 3, 4) , (1, 3, 2, 4) , (1, 4, 2, 3) であり、それぞれの符号 sgn(σ ) は、+1 , −1 , +1 であるから、
Pf ( A ) = a 12 a 34 − a 13 a 24 + a 14 a 23 {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}} となる。
性質 基本的な性質 最も基本的な性質は、交代行列 A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式
det ( A ) = ( Pf ( A ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {det} (A)=(\operatorname {Pf} (A))^{2}} である。また、2n × 2n の交代行列 A と任意の 2n × 2n 行列 B に対して、
Pf ( t B A B ) = det ( B ) Pf ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pf} ({}^{t}\!BAB)=\operatorname {det} (B)\operatorname {Pf} (A)} が成り立つ。
また、任意の n × n B について、
Pf ( 0 B − t B 0 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 det B {\displaystyle \operatorname {Pf} {\begin{pmatrix}0&B\\-{}^{t}\!B&0\end{pmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det B} が成り立つ。
展開公式 2n × 2n の交代行列 A に対し、A から i , j i , j 2(n − 2) × 2(n − 2) の交代行列を A (i , j )
Pf ( A ) = ∑ j = 1 2 n ( − 1 ) i + j + 1 a i j Pf ( A ( i j ) ) = ∑ j = 1 2 n ( − 1 ) i + j + 1 Pf ( a i , a j ) Pf ( a 1 , ⋯ , a i ^ , ⋯ , a j ^ , ⋯ , a 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&=\sum _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}a_{ij}\operatorname {Pf} (A^{(ij)})\\&=\sum _{j=1}^{2n}(-1)^{i+j+1}\operatorname {Pf} (a_{i},a_{j})\operatorname {Pf} (a_{1},\cdots ,{\hat {a_{i}}},\cdots ,{\hat {a_{j}}},\cdots ,a_{2n})\end{aligned}}} が成り立つ。但し、2行目において、ˆ は、その成分をとり除くことを意味する。これは行列式における余因子展開 に相当する。
脚注 ^ P. W. Kasteleyn, "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice". Physica 27 (12) pp. 1209–1225 (1961). doi :10.1016/0031-8914(61)90063-5 ^ A. Cayley , "On the theory of permutants," Cambridge and Dublin Mathematical Journal 7 , pp. 40–51 (1852).^ J. F. Pfaff, "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, completi integrandi," Abhandlungen der Königlich-Preuß ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Klasse , pp. 76–136 (1814).
参考文献 Thomas Muir (sir.), A treatise on the theory of determinants" , Macmillan and Co. (1882) Thomas Muir (sir.), The theory of determinants in the historical order of development , Macmillan and Co. (1906) Roe Goodman and Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics) Springer (2009) (ISBN 978-0387798516 ) (岡田聡一 ) 『古典群の表現論と組合せ論〈上〉 (数理物理シリーズ)』 培風館 (2006) (ISBN 978-4563006631 ) 広田良吾 『直接法によるソリトンの数理』 岩波書店(1992) (ISBN 978-4000056762 )高崎金久 『線形代数と数え上げ』日本評論社 (2012) (ISBN 978-4535786806 )
関連項目 