力学系 の理論において、ハートマン＝グロブマンの定理 (英 : Hartman–Grobman theorem )とは、不動点 周りの解析において、元の方程式と近似的に線形化 した方程式が局所的に等価であることを示す定理。数学者D. M. グロブマンとP. ハートマンによって示された[1] [2] [3]
概要 写像 の繰り返しで記述される離散力学系
x x + 1 = f ( x n ) ( n = 0 , 1 , ⋯ ) f : R n → R n {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{x+1}=f(x_{n})\quad (n=0,1,\cdots )\\&f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}} もしくは、微分方程式 で記述される連続力学系
d x d t = g ( x ) ( t ∈ [ a , b ] , x ∈ R n ) g : R n → R n {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}=g(x)\quad (t\in [a,b],\,\,x\in \mathbf {R} ^{n})\\&g:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}} を考える。これらの系の時間発展は、写像の反復
x 0 , ⋯ , x n , x n + 1 , ⋯ f ( x n ) = f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f ( x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{0},\cdots ,x_{n},\,x_{n+1},\cdots \\&f(x_{n})=f\circ f\circ \cdots \circ f(x_{0})\end{aligned}}} または、微分方程式の定める流れ （(一径数部分群 )）
ϕ t : R n → R n ϕ t ( x 0 ) ) = x ( t ) ( x ( 0 ) = x 0 ) ϕ s ∘ ϕ t = ϕ s + t {\displaystyle {\begin{aligned}&\phi _{t}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\\&\phi _{t}(x_{0}))=x(t)\quad (x(0)=x_{0})\\&\phi _{s}\circ \phi _{t}=\phi _{s+t}\end{aligned}}} で与えられる。
こうした力学系に対し、
f ( x ¯ ) = x ¯ {\displaystyle f({\bar {x}})={\bar {x}}\,} g ( x ¯ ) = 0 {\displaystyle g({\bar {x}})=0\,} を満たす点x 不動点 平衡点 という。 写像の反復もしくは時間変数t に関して定常的となる不動点の近傍の振る舞いを解析することは、力学系の挙動を理解する上で重要である。また、離散系の不動点において、ヤコビ行列Df の固有値の絶対値が全て1ではない場合、不動点は(双曲型 ) であるという。同様に微分方程式の定める連続系の不動点において、ヤコビ行列の固有値Dg の実部が全て0ではない場合、不動点は双曲型であるという。不動点が双曲型であれば、そこでの安定性の議論が可能となる。
一般に非線形な力学系の理論は困難を伴うが、それに比して、線形な力学系 の解析は容易である。実際、不動点x 正方行列 A で記述される線形な離散力学系
x n + 1 = A x n {\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}\,} や連続力学系
d x d t = A ( x − x ¯ ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=A(x-{\bar {x}})} については、行列A の固有値 、固有ベクトル を評価することで、その振る舞いを完全に調べることができる。
そこで非線形な力学系の解析においても、ヤコビ行列 Df' によって、不動点近傍で線形化 した方程式
f ( x ¯ ) = f ( x ¯ ) + D f ( x ¯ ) ( x − x ¯ ) + ⋯ ≈ D f ( x ¯ ) ( x − x ¯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}f({\bar {x}})&=f({\bar {x}})+Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})+\cdots \\&\approx Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})\end{aligned}}} に帰着させれば、近似的であるが線形力学系の手法で、不動点周りの挙動を理解することができる。ハートマン＝グロブマンの定理は双曲型不動点において、その近傍での局所的な挙動が、線形化した方程式で解析できることを保証する。
定理の内容 離散版 微分同相写像
f : R n → R n {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}} に対し、x Df の固有値の絶対値が全て1ではない双曲的な不動点とする。このとき、x U と同相写像 h で
h ( f ( ξ ) ) = D f ( x ¯ ) h ( ξ ) ∀ ξ ∈ U h : R n → R n {\displaystyle {\begin{aligned}&h(f(\xi ))=Df({\bar {x}})h(\xi )\quad \forall \xi \in U\\&h:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\end{aligned}}} を満たすものが存在する。すなわち、x f とDf は局所的に位相共役 である。
連続版 微分方程式
d x d t = g ( x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=g(x)} で記述される連続力学系において、その流れをφ t とする。x x U が存在し、U においてφ t と線形化した方程式
d ξ d t = D g ( x ¯ ) ξ ( ξ = x − x ¯ ) {\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=Dg({\bar {x}})\xi \quad (\xi =x-{\bar {x}})} が定める流れ
e t D g ( x ¯ ) {\displaystyle e^{tDg({\bar {x}})}} は局所的に位相共役となる。
脚注 ^ D. M. Grobman, "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений (Homeomorphisms of systems of differential equations)," Dokl. Akad. Nauk SSSR , 128 , pp.880-881 (1969) ^ P. Hartman, "A lemma in the theory of structural stability of differential equations," Proc. A.M.S. , 11 , p.610-620 (1960) doi :10.2307/2034720 ^ P.Hartman, "On local homeomorphisms of Euclidean spaces," Bol. Soc. Math. Mexicana , 5 , p.220-241 (1960)
参考文献 C.ロビンソン（著）、國府寛司、柴山健伸、岡宏枝（訳）『力学系・上』 シュプリンガー・ジャパン（2001年）(ISBN 978-4431708254 )
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