トゥシャール多項式と時折呼ばれることもあるが異なる多項式の族 Qn については「(ベイトマン多項式 )」をご覧ください。
数学 において、Jacques Touchard (1939 ) によって研究されたトゥシャール多項式 (トゥシャールたこうしき、英 : Touchard polynomials )あるいは指数多項式 (exponential polynomials)[1] [2] [3] とは、次で定義される二項型 の多項式列 のことを言う。
T 0 ( x ) = 1 , T n ( x ) = ∑ k = 1 n S ( n , k ) x k = ∑ k = 1 n { n k } x k , n > 0. {\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0.} ただし S (n , k ) は第二種スターリング数 、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割 する組合せの数を表す(上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌース によって導入された)。n 次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数 、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち
T n ( 1 ) = B n {\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}} である。
X を、期待値が λ であるようなポアソン分布 を伴う確率変数 とすると、その n 次モーメントは E(X n ) = T n (λ) で、次が定義される。
T n ( x ) = e − x ∑ k = 0 ∞ x k k n k ! . {\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.} この事実より、この多項式列 は二項型 であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。
T n ( λ + μ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( λ ) T n − k ( μ ) . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).} トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。
T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).} トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式 に似た次の公式を満たす。
T n ( e x ) = e − e x d n d x n ( e e x ) {\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)} トゥシャール多項式は、次の漸化式
T n + 1 ( x ) = x ( 1 + d d x ) T n ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)} および
T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)} を満たす。x = 1 の場合、これはベル数 に対する漸化式に帰着される。
陰記法 T n (x )=T n (x ) を用いることで、これらの公式は次のようになる。
T n ( λ + μ ) = ( T ( λ ) + T ( μ ) ) n . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.} T n + 1 ( x ) = x ( 1 + T ( x ) ) n . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.} トゥシャール多項式の母関数 は
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) n ! t n = e x ( e t − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}} である。これは第二種スターリング数 の母関数に対応し、[4] においては指数多項式と呼ばれている。周回積分 の表現を使えば
T n ( x ) = n ! 2 π i ∮ e x ( e t − 1 ) t n + 1 d t {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt} となる。トゥシャール多項式(そして関連するベル数 )は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。
T n ( x ) = n ! π ∫ 0 π e x ( e cos ( θ ) cos ( sin ( θ ) ) − 1 ) cos ( x e cos ( θ ) sin ( sin ( θ ) ) − n θ ) d θ {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta )\,\mathrm {d} \theta }
参考文献 ^ Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus . Dover. ISBN (0-486-44139-3 ) ^ Boyadzhiev, Khristo N.. “Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.”. arxiv. 2013年11月23日 閲覧。 ^ Brendt, Bruce C. “RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU”. 2013年11月23日 閲覧。 ^ Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus . Dover. pp. 63–64. ISBN (0-486-44139-3 ) Touchard, Jacques (1939), “Sur les cycles des substitutions”, Acta Mathematica 70 (1): 243–297, doi :10.1007/BF02547349, ISSN 0001-5962, MR 1555449 ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。