幾何学におけるデカルトの定理 とは、互いに接する4つの円の半径はある二次方程式 を満たす、という主張である。1642年にこれを発表したルネ・デカルト に因む。
歴史
主張
互いに接する3つの円（
黒 ）の全てに接する円は2つ存在する（
赤 ）
半径 r の円の曲率 k を k = ± 1 r {\displaystyle k=\pm {\frac {1}{r}}}
k が正のとき、その円は他の円と外接 するものとする（図中の黒い円）。同じく負であるとき、その円は他の円と内接（内包）するものとする（図中の大きな赤い円）。k が 0 のときは、半径が無限に大きな円とみなし、直線を表すものとする。
互いに接する4つの円（もしくは3つの円と1つの直線）の曲率を k 1 k 2 k 3 k 4
( k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ) 2 = 2 ( k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k 4 2 ) {\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2({k_{1}}^{2}+{k_{2}}^{2}+{k_{3}}^{2}+{k_{4}}^{2})}
(1 )
先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つ目の円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。
k 4 = k 1 + k 2 + k 3 ± 2 k 1 k 2 + k 2 k 3 + k 3 k 1 {\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}}
(2 )
複号により解は2つ与えられる。直線への退化 を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。
特別な場合 3つの円が同じ点で接している場合 3つの円が同じ点で接している場合、デカルトの定理は適用できない 。
直線が存在する場合 直線では k = 0 だから、式(2) k 4 = k 1 + k 2 ± 2 k 1 k 2 {\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}} 同様に式(2) k 4 = k 1 {\displaystyle k_{4}=k_{1}} 曲率が平方数の場合 曲率が全て平方数 だった場合を考える。このとき式(2)
( v 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2 ( v 4 + x 4 + y 4 + z 4 ) {\displaystyle (v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})}
(3 )
と表せる。オイラー は v , x , y , z ピタゴラスの三つ組 )になっていることを示した。
( 2 v x ) 2 + ( 2 y z ) 2 = ( v 2 + x 2 − y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vx)^{2}+(2yz)^{2}=(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}} ( 2 v y ) 2 + ( 2 x z ) 2 = ( v 2 − x 2 + y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vy)^{2}+(2xz)^{2}=(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}} ( 2 v z ) 2 + ( 2 x y ) 2 = ( v 2 − x 2 − y 2 + z 2 ) 2 {\displaystyle (2vz)^{2}+(2xy)^{2}=(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}} 今 k 1
( − v 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2 ( v 4 + x 4 + y 4 + z 4 ) {\displaystyle (-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})} の解は媒介変数表示できて
[ v , x , y , z ] = [ 2 ( a b − c d ) ( a b + c d ) , ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ( a 2 − b 2 + c 2 − d 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( a 2 + c 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( b 2 + d 2 ) ] {\displaystyle [v,x,y,z]=[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac-bd)(b^{2}+d^{2})]} となる。ここで a , b , c , d 恒等式 を満たすものである。
a 4 + b 4 = c 4 + d 4 {\displaystyle a^{4}+b^{4}=c^{4}+d^{4}} 特に v + x = y ∧ z ≠ 0 {\displaystyle v+x=y\land z\neq 0} 式(3)
4 ( x 2 + v x + v 2 ) = z 2 {\displaystyle 4(x^{2}+vx+v^{2})=z^{2}} と二元二次不定方程式の形になり、やはり解の形を書き下せる。
複素数定理 以下、円は複素平面 上で定義されているものとする。i 番目の円の中心を z i で表すと、式(1) 式(4)
( w 1 + w 2 + w 3 + w 4 ) 2 = 2 ( w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 ) {\displaystyle (w_{1}+w_{2}+w_{3}+w_{4})^{2}=2(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2})}
(4 )
z 4 = ( w 1 + w 2 + w 3 ± 2 w 1 w 2 + w 2 w 3 + w 3 w 1 ) k 4 {\displaystyle z_{4}={\frac {(w_{1}+w_{2}+w_{3}\pm 2{\sqrt {w_{1}w_{2}+w_{2}w_{3}+w_{3}w_{1}}})}{k_{4}}}}
(5 )
w h e r e w i = k i z i {\displaystyle where\ w_{i}=k_{i}z_{i}} 複号および複素数の平方根の多価性により1つの k 4 に対し2つの解が得られ、そのうちの一方が正しい中心を与える。
一般化 n 次元への一般化はソディ–ゴセの定理 と呼ばれる。n 次元ユークリッド空間 において全てが互いに接する超球の最大数は n + 2
( ∑ i = 1 n + 2 k i ) 2 = n ∑ i = 1 n + 2 k i 2 {\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n+2}k_{i}\right)^{2}=n\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n+2}{k_{i}}^{2}} が成り立つ。超球の中心については行列 による表示が知られている[2] [3]
関連項目
脚注 ^ F. Soddy (1936-06). “The Kiss Precise”. Nature 137 (3477): 1021. doi :10.1038/1371021a0. ^ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks (2002-04). “Beyond the Descartes Circle Theorem”. The American Mathematical Monthly 109 (4): 338-361. doi :10.2307/2695498. JSTOR 2695498. ^ arXiv :math/0101066
