ガンマ行列 γμ は以下の反交換関係 を満たす行列 の組として定義される[注 1] 。
{ γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν 1 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\mathbf {1} }
ここで μ ,ν = 0, 1, 2, …, d − 1 は d 次元時空 の添え字で、g は時空の計量 で、この場合 g = diag (+1, −1, −1, …, −1) である。1 は単位行列で、この式が行列としての等式であることを明示しているが、しばしば省略される。行列を成分で書けば、
{ γ μ , γ ν } a b = ( γ μ ) a c ( γ ν ) c b + ( γ μ ) a c ( γ ν ) c b = 2 g μ ν δ a b {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}_{a}{}^{b}=(\gamma ^{\mu })_{a}{}^{c}(\gamma ^{\nu })_{c}{}^{b}+(\gamma ^{\mu })_{a}{}^{c}(\gamma ^{\nu })_{c}{}^{b}=2g^{\mu \nu }\delta _{a}^{b}}
となる。行列の添え字は a , b = 1, …, 2k (d が偶数の場合は k = d /2 、奇数の場合は k = (d + 1)/2 の範囲を動く。また、重複して現れる添え字についてはアインシュタインの規約 に従い、和をとるものとする。
時空の添え字の上げ下げは、計量によって行われる。
γ μ = g μ ν γ ν , γ μ = g μ ν γ ν {\displaystyle \gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu },~\gamma ^{\mu }=g^{\mu \nu }\gamma _{\nu }}
γ 0 = γ 0 , γ j = − γ j {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma ^{0},~\gamma _{j}=-\gamma ^{j}}
ここで j = 1, …, d − 1 は空間成分である。(以下同じ)
基本的性質 定義より、
( γ 0 ) 2 = 1 , ( γ j ) 2 = − 1 {\displaystyle (\gamma ^{0})^{2}=1,~(\gamma ^{j})^{2}=-1}
γ μ γ ν = − γ ν γ μ ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\quad (\mu \neq \nu )}
が成り立つ。
また、ガンマ行列同士の積から生成される項は、上記の性質から
1 , γ μ , γ μ 1 γ μ 2 , γ μ 1 γ μ 2 γ μ 3 , … , γ μ 1 γ μ 2 ⋯ γ μ d ( μ 1 ≠ μ 2 ≠ ⋯ ≠ μ d ) {\displaystyle 1,\gamma ^{\mu },\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}},\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}}\gamma ^{\mu _{3}},\ldots ,\gamma ^{\mu _{1}}\gamma ^{\mu _{2}}\cdots \gamma ^{\mu _{d}}\quad (\mu _{1}\neq \mu _{2}\neq \cdots \neq \mu _{d})}
のいずれかの形に帰着される。この中で互いに異なる項は2d 個となる。
エルミート性 γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}} は固有値 ±1 であり、 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} は固有値 ±i である。従ってエルミート共役に対して、
( γ 0 ) † = γ 0 , ( γ j ) † = − γ j {\displaystyle (\gamma ^{0})^{\dagger }=\gamma ^{0},~(\gamma ^{j})^{\dagger }=-\gamma ^{j}}
が成り立つような行列で表示することができる。つまり、 γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}} はエルミート行列 、 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} は反エルミート行列 になるように表示することができる。このような表示をしたとき、まとめて
( γ μ ) † = γ 0 γ μ γ 0 {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}}
と表すことができる。一般にエルミート性は持たないことに注意されたい。
トレース ガンマ行列のトレース はゼロとなる。
Tr γ μ = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma ^{\mu }=0}
縮約公式 ガンマ行列の縮約 については、以下が成り立つ。
γ μ γ μ = d {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=d}
γ μ γ ν γ μ = ( 2 − d ) γ ν {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }}
γ μ γ ν γ ρ γ μ = 4 g ν ρ − ( 4 − d ) γ ν γ ρ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4g^{\nu \rho }-(4-d)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}
γ μ γ ν γ ρ γ σ γ μ = − 2 γ σ γ ρ γ ν + ( 4 − d ) γ ν γ ρ γ σ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+(4-d)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }}
より高次の縮約公式についても
γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ ν r + 1 γ μ = 2 γ ν r + 1 γ ν 1 ⋯ γ ν r − ( γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ μ ) γ ν r + 1 {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}-(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma _{\mu })\gamma ^{\nu _{r+1}}}
として帰納的に求められる。
4次元時空では、ガンマ行列は相対論的 な場の理論 に応用される。4次元時空ではガンマ行列は 4×4 行列で書ける。
基本的性質 4次元時空では { γ μ } μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}_{\mu =0,1,2,3}} 同士の積から生成される 24 = 16 個の元
1 , {\displaystyle \mathbf {1} ,} γ 0 , i γ 1 , i γ 2 , i γ 3 , {\displaystyle \gamma ^{0},i\gamma ^{1},i\gamma ^{2},i\gamma ^{3},} γ 0 γ 1 , γ 0 γ 2 , γ 0 γ 3 , i γ 2 γ 3 , i γ 3 γ 1 , i γ 1 γ 2 , {\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1},\gamma ^{0}\gamma ^{2},\gamma ^{0}\gamma ^{3},i\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{3}\gamma ^{1},i\gamma ^{1}\gamma ^{2},} γ 1 γ 2 γ 3 , i γ 0 γ 2 γ 3 , i γ 0 γ 1 γ 3 , i γ 0 γ 1 γ 2 , {\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3},i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2},} γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}} が一次独立 となる[注 2] 。これらを { Γ A } A = 1 , ⋯ , 16 {\displaystyle \{\Gamma _{A}\}_{A=1,\cdots ,16}} と表したとき、各 Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} は Γ A 2 = 1 {\displaystyle \Gamma _{A}^{\,2}=\mathbf {1} } 及び Tr Γ A = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \Gamma _{A}=0} を満たす。
16個の Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} が一次独立であることから、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} を行列表現するには、少なくとも16個の成分を持つ4×4行列が必要となる。特に4×4行列による表現は既約表現 であり、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} と { γ ′ μ } {\displaystyle \{\gamma '^{\mu }\}} を異なる4×4行列による表現の組とすると、正則行列 S {\displaystyle S} が存在し、 γ ′ μ = S γ μ S − 1 {\displaystyle \gamma '^{\mu }=S\gamma ^{\mu }S^{-1}} の関係が成り立つ。
また、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} を4×4行列で表現した場合、任意の4×4行列 X {\displaystyle X} は、 X = ∑ A x A Γ A {\displaystyle X=\sum _{A}x_{A}\Gamma _{A}} と、 { Γ A } {\displaystyle \{\Gamma _{A}\}} の一次結合 で表すことができる。ここで、展開係数は x A = Tr ( X Γ A ) / 4 {\displaystyle x_{A}=\operatorname {Tr} (X\Gamma _{A})/4} で与えられる。
カイラリティー カイラリティー γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} は
γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}
によって定義される行列である。高次元時空における第5成分とは関係が無い。
( γ 5 ) 2 = 1 , ( γ 5 ) † = γ 5 {\displaystyle (\gamma _{5})^{2}=1,~(\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5}}
γ 5 γ μ = − γ μ γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }\gamma _{5}}
γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} の固有値は ±1 である。 固有値 +1 に属する部分空間を右手型 (right-handed, RH)、或いは右巻きと呼び、−1 を左手型 (left-handed, LH)、或いは左巻きと呼ぶ。
射影演算子
P L ≡ 1 − γ 5 2 , P R ≡ 1 + γ 5 2 {\displaystyle P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}}
を定義すると、
ψ L = P L ψ , ψ R = P R ψ {\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi ,~\psi _{R}=P_{R}\psi }
ψ = ψ L + ψ R {\displaystyle \psi =\psi _{L}+\psi _{R}}
によって、ディラックスピノル ψ を右手型、左手型の成分に分解できる。
文献によっては γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} の定義で符号が逆の場合もあるが、そのときも固有値+1が右手、−1が左手である。
変換性 ディラックスピノル ψ のディラック共役 ψ = ψ † γ 0 とガンマ行列によって構成される双線型形式 ψ Aψ は、次のように、離散対称性(パリティ 変換、時間反転 )を含む広義のローレンツ変換 の下で、スカラー 、ベクトル 、反対称テンソル 、擬ベクトル 、擬スカラー として変換性をもつ。
双線形形式 変換性 変換則 ψ ψ スカラー ψ ¯ ′ ( x ) ψ ′ ( x ) = ψ ¯ ( Λ − 1 x ) ψ ( Λ − 1 x ) {\displaystyle {\overline {\psi }}'(x)\psi '(x)={\overline {\psi }}(\Lambda ^{-1}x)\psi (\Lambda ^{-1}x)} ψ γμ ψ ベクトル ψ ¯ ′ ( x ) γ μ ψ ′ ( x ) = Λ μ ν ψ ¯ ( Λ − 1 x ) γ μ ψ ( Λ − 1 x ) {\displaystyle {\overline {\psi }}'(x)\gamma ^{\mu }\psi '(x)=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }{\overline {\psi }}(\Lambda ^{-1}x)\gamma ^{\mu }\psi (\Lambda ^{-1}x)} ψ σμν ψ 反対称テンソル ψ ¯ ′ ( x ) σ μ ν ψ ′ ( x ) = Λ μ ρ Λ ν σ ψ ¯ ( Λ − 1 x ) σ ρ σ ψ ( Λ − 1 x ) {\displaystyle {\overline {\psi }}'(x)\sigma ^{\mu \nu }\psi '(x)=\Lambda ^{\mu }{}_{\rho }\Lambda ^{\nu }{}_{\sigma }{\overline {\psi }}(\Lambda ^{-1}x)\sigma ^{\rho \sigma }\psi (\Lambda ^{-1}x)} ψ γ5 γμ ψ 擬ベクトル ψ ¯ ′ ( x ) γ 5 γ μ ψ ′ ( x ) = det ( Λ ) Λ μ ν ψ ¯ ( Λ − 1 x ) γ 5 γ ν ψ ( Λ − 1 x ) {\displaystyle {\overline {\psi }}'(x)\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi '(x)=\operatorname {det} (\Lambda )\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }{\overline {\psi }}(\Lambda ^{-1}x)\gamma _{5}\gamma ^{\nu }\psi (\Lambda ^{-1}x)} ψ iγ5 ψ 擬スカラー ψ ¯ ′ ( x ) i γ 5 ψ ′ ( x ) = det ( Λ ) ψ ¯ ( Λ − 1 x ) i γ 5 ψ ( Λ − 1 x ) {\displaystyle {\overline {\psi }}'(x)i\gamma _{5}\psi '(x)=\operatorname {det} (\Lambda ){\overline {\psi }}(\Lambda ^{-1}x)i\gamma _{5}\psi (\Lambda ^{-1}x)}
ディラック表現 ディラック表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} 、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} 、及び σ μ ν {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }} は
γ 0 = [ 1 0 0 − 1 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] , γ 5 = [ 0 1 1 0 ] , σ 0 j = [ 0 i σ j i σ j 0 ] , σ j k = ϵ i j k [ σ i 0 0 σ i ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}},~\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\gamma _{5}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{0j}={\begin{bmatrix}0&i\sigma _{j}\\i\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{jk}=\epsilon _{ijk}{\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\\\end{bmatrix}}}
となる。ここで σ j {\displaystyle \sigma _{j}} (j = 1, 2, 3) はパウリ行列 、1, 0 はそれぞれ 2 次の単位行列 、零行列 である。
ディラック表現は次の直積表現 [注 3] に相当する。
γ 0 = σ 3 ⊗ 1 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j , γ 5 = σ 1 ⊗ 1 , σ 0 j = i σ 1 ⊗ σ j , σ j k = 1 ⊗ ϵ i j k σ i {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes 1,~\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j},~\gamma _{5}=\sigma _{1}\otimes 1,~\sigma ^{0j}=i\sigma _{1}\otimes \sigma _{j},~\sigma ^{jk}=1\otimes \epsilon _{ijk}\sigma _{i}}
カイラル表現 カイラル表現、或いはワイル表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} 、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} 、および σ μ ν {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }} は
γ 0 = [ 0 1 1 0 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] , γ 5 = [ − 1 0 0 1 ] , σ 0 j = [ − i σ j 0 0 i σ j ] , σ j k = ϵ i j k [ σ i 0 0 σ i ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}},~\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\gamma _{5}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{0j}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{j}&0\\0&i\sigma _{j}\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{jk}=\epsilon _{ijk}{\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\\\end{bmatrix}}}
となる。
カイラル表現では、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} (カイラリティー)が対角化されており、射影演算子は
P L = [ 1 0 0 0 ] , P R = [ 0 0 0 1 ] {\displaystyle P_{L}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}},~P_{R}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}
となる。つまり、左右の成分が上下2成分ずつに分かれた表示である。
ψ = [ ξ η ¯ ] {\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{bmatrix}}}
ψ L = [ ξ 0 ] , ψ R = [ 0 η ¯ ] {\displaystyle \psi _{L}={\begin{bmatrix}\xi \\0\\\end{bmatrix}},~\psi _{R}={\begin{bmatrix}0\\{\bar {\eta }}\\\end{bmatrix}}}
カイラル表現は次の直積表現に相当する。
γ 0 = σ 1 ⊗ 1 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j , γ 5 = − σ 3 ⊗ 1 , σ 0 j = − i σ 3 ⊗ σ j , σ j k = 1 ⊗ ϵ i j k σ i {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{1}\otimes 1,~\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j},~\gamma _{5}=-\sigma _{3}\otimes 1,~\sigma ^{0j}=-i\sigma _{3}\otimes \sigma _{j},~\sigma ^{jk}=1\otimes \epsilon _{ijk}\sigma _{i}}
カイラル表現とディラック表現は次の相似変換 で結ばれる。
γ chiral μ = U γ Dirac μ U † , U = 1 2 ( 1 − γ 5 γ 0 ) = 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] {\displaystyle \gamma _{\operatorname {chiral} }^{\mu }=U\,\gamma _{\operatorname {Dirac} }^{\mu }\,U^{\dagger },\quad U={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1-\gamma _{5}\gamma _{0})={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}} マヨラナ表現 マヨラナ表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} および γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} は
γ 0 = [ 0 σ 2 σ 2 0 ] , γ 1 = [ i σ 3 0 0 i σ 3 ] , γ 2 = [ 0 − σ 2 σ 2 0 ] , γ 3 = [ − i σ 1 0 0 − i σ 1 ] , γ 5 = [ σ 2 0 0 − σ 2 ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\\\end{bmatrix}},\quad \gamma _{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}} となる。
マヨラナ表現は次の直積表現に相当する。
γ 0 = σ 1 ⊗ σ 2 , γ 1 = i 1 ⊗ σ 3 , γ 2 = − i σ 2 ⊗ σ 2 , γ 3 = − i 1 ⊗ σ 1 , γ 5 = σ 3 ⊗ σ 2 {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{1}\otimes \sigma _{2},\quad \gamma ^{1}=i1\otimes \sigma _{3},\quad \gamma ^{2}=-i\sigma _{2}\otimes \sigma _{2},\quad \gamma ^{3}=-i1\otimes \sigma _{1},\quad \gamma _{5}=\sigma _{3}\otimes \sigma _{2}} また、マヨラナ表現とディラック表現は次の相似変換で結ばれる。
γ majorana μ = U γ Dirac μ U † , U = U † = 1 2 [ 1 σ 2 σ 2 − 1 ] {\displaystyle \gamma _{\operatorname {majorana} }^{\mu }=U\,\gamma _{\operatorname {Dirac} }^{\mu }\,U^{\dagger },\quad U=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&-1\\\end{bmatrix}}}