チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、英: Chebyshev's inequality）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。

標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の n 倍以上離れた値は全体の 1/n² 以下である。

歴史

この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである^[1]:98。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明がない状態で定式化され^[2]、後の1867年にチェビシェフによって証明された^[3] 。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた^[4]。

一般的表現

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現

(X, Σ, μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu }$ 

となる。より一般的には、g が非負実数値可測関数で、f の範囲で減少しないとすれば、

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu }$ 

となる。最初の式は、ここで g(t) を

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if}}~~~t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$ 

で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。

確率論的表現

X を、期待値が μ, 有限の分散が σ² である確率変数とすると、任意の実数 k > 0 に対して

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$ 

ただし k > 1 の場合にだけ意味がある。

(余事象)について、こうなる。

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|<k\sigma )>1-{\frac {1}{k^{2}}}}$ 

例として、k = √2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ − √2σ,   μ + √2σ) 内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

例

分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 (μ) が 1000 文字であって、標準偏差 (σ) が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。

• 少なくとも 75% の文章の長さは 600 から 1400 文字である（k = 2 の場合）。
• 少なくとも 88% の文章の長さは 400 から 1600 文字である（k = 3 の場合）。
• 少なくとも 93% の文章の長さは 200 から 1800 文字である（k = 4 の場合）。
• 少なくとも 96% の文章の長さは 2000 文字以下である（k = 5 の場合）。
• 少なくとも 50% の文章の長さは 717 から 1282 文字である（k = √2 の場合）。

もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次行がいえる。

• 少なくとも 75% の文章の長さは 770 から 1230 文字である（チェビシェフの不等式で k = 2 の場合よりも範囲が狭い）。

証明

測度論的な証明

A_t を A_t = {x ∈ X | f(x) ≥ t} で定義すると

${\displaystyle g(t)\leq g\circ f(x)}$ 

がすべての${\displaystyle x\in A_{t}}$ に対して成り立つことより、

${\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{A_{t}}g(t)\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu }$ 

となる。上の不等式を g(t) で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明

任意の実数確率変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a が得られる。この不等式に Y = (X − μ)², a = (σk)² を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 A に対し I_A が A の指示関数に従う確率変数である（つまり I_A は A が起これば 1、そうでなければ 0）とする。すると

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}$ 

${\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}}$  と証明される。

出典　

1. ^ Donald Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN (978-0-201-89683-1). http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/taocp.html 2012年10月1日閲覧。 
2. ^ I.-J. Bienaymé (1853). “Considérations àl'appui de la découverte de Laplace”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324. 
3. ^ P. Tchebichef (1867). “Des valeurs moyennes”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 12: 177–184. 
4. ^ Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg.

関連項目

• マルコフの不等式