ソファ問題

数学上の未解決問題

L字型の通路をとおすことができる、ソファの面積の最大値は?

ソファ問題（ソファもんだい）は数学の未解決問題のひとつ。1966年に(レオ・モーザー)（英語版）によって問題が提示された。この問題は「L字型の通路を通り抜けることができる、ソファの面積の最大値 A を求めよ」という離散幾何学、数学パズルの問題である。これは、数学上の未解決問題となっている。

面積 π/2 + 2/π = 2.2074... の受話器の形をしたソファ。これは最大ではない。

A の下限と上限

下限

通路の幅が1であるとき、半径1の半円はL字型の通路を通すことができるので、Aの下界の一つとして ${\displaystyle \scriptstyle A\,\geq \,{\frac {\pi }{2}}\,\approx \,1.570796327}$ が容易に得られる。

(ジョン・ハマーズレイ)（英語版）はより優れたAの下界の一つを発見した。${\displaystyle 1\times {\frac {4}{\pi }}}$ の長方形の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、直径 ${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}}$  の半円をくりぬいた受話器型のソファで、${\displaystyle \scriptstyle A\,\geq \,{\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }},\approx \,2.207416099}$  となる^[1][2]。

 

18の線からなるジャーバーのソファー

1992年にジョセフ・ジャーバー（Joseph Gerver）によって、18の線（3の直線と15の曲線）からなる図形により、さらに優れたAの下界の一つ 2.219531669... が示された^[3][4]。

上限

一方、A の上限については、ハマーズレイによる簡単な議論によって高々 ${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {2}}\,\approx \,2.8284}$  であることが示されていた^[5][6]。

2017年6月にYoav KallusとDan Romikは新しい上限として、2.37を証明している^[7]。

両手利きのソファ

 

Romikの両手利きのソファ

この問題の変形として、一定の幅の通路で左右の90度の角の両方を回ることができるソファの面積の最大値 A を求める問題がある。Dan Romikは18の曲線からなる図形によって、約1.64495521の下限を示した^[8]。

脚注

1. ^ Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; (Guy, Richard K.) (1994). Hamos, Paul R.. ed. Unsolved Problems in Geometry. Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics. II. Springer-Verlag. ISBN (978-0-387-97506-1). http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-97506-1 2013年4月24日閲覧。 
2. ^ by Steven Finch at MathSoft, includes a diagram of Gerver's sofa
3. ^ Gerver, Joseph L. (1992). “On Moving a Sofa Around a Corner”. Geometriae Dedicata 42 (3): 267–283. doi:10.1007/BF02414066. ISSN 0046-5755. 
4. ^ Weisstein, Eric W. "Moving sofa problem". MathWorld (英語).
5. ^ Wagner, Neal R. (1976). “The Sofa Problem”. The American Mathematical Monthly 83 (3): 188–189. doi:10.2307/2977022. JSTOR 2977022. http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf. 
6. ^ (Stewart, Ian) (January 2004). Another Fine Math You've Got Me Into.... Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN (0486431819). http://store.doverpublications.com/0486431819.html 2013年4月24日閲覧。 
7. ^ Kallus, Yoav; Romik, Dan (December 2018). “Improved upper bounds in the moving sofa problem”. Advances in Mathematics 340: 960–982. arXiv:1706.06630. doi:10.1016/j.aim.2018.10.022. ISSN 0001-8708. 
8. ^ Romik, Dan (2017). “Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem”. Experimental Mathematics 26 (2): 316–330. arXiv:1606.08111. doi:10.1080/10586458.2016.1270858. 

外部リンク

• “The moving sofa problem - Dan Romik's home page”. UCDavis. 2017年3月26日閲覧。