スケール不変性

スケール不変性（スケールふへんせい、英: scale invariance）とは、対象のスケールを変えてもその特徴が変化しない性質のことである^[1]。

定義

観測対象 F について、任意のスケール変換 x → λx に対し次の性質を満たす定数 μ が存在することである。μ が整数の場合は、μ-次の斉次函数である。

${\displaystyle F(\lambda \,x)=\lambda ^{\mu }F(x).}$ 

任意のスケールに対してではなく、1つあるいは複数の特定のスケール λ_k に対してのみスケール不変性が成り立つ場合を離散的スケール不変性という^[1]。

例

スケール不変性を満たす解の1つとしてべき乗則が挙げられる。

${\displaystyle F(x)=c\,x^{\alpha }}$ 

証明

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\lambda x)&=c\,(\lambda x)^{\alpha }\\&=\lambda ^{\alpha }\,F(x)\end{aligned}}}$ 

脚注

1. ^ ^{a b} Didier Sornette (2006), Critical Phenomena in Natural Sciences (2nd ed.), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp. 131, 148–150, doi:10.1007/3-540-33182-4, ISBN (978-3-540-30882-9), http://www.springer.com/us/book/9783540308829