スキューズ数

スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、 $x$ 以下の素数の個数 $π(x)$ および対数積分 $li(x)$ について、 $π(x) > li(x)$ を満たす最小の自然数 $x$ の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような $x$ 自体を指すこともある。2021年時点で、このような $x$ は 10¹⁴ より大きく^[1] 1.3983 × 10³¹⁶ 未満^[2]であることが知られているが、正確な値は不明である。

歴史

素数定理によれば、 $π(x)$ は漸近的に $li(x)$ に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に $x$ が小さいあいだは常に $li(x)$ の方が大きいように見える。このことから、 $π(x) > li(x)$ となる $x$ が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスやリーマンはそのような $x$ は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような $x$ が存在することのみならず、 $π(x) - li(x)$ の符号は無限回変わることを示した。すなわち、 $π(x)$ と $li(x)$ は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて $π(x)$ が $li(x)$ を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。

スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、 $π(x) > li(x)$ となる $x$ は、次の数以下に存在することを証明した。

e^{e^{e^{79}}}\left(\approx 10^{10^{10^{33.947}}}<10^{10^{10^{34}}}\right)

これがオリジナルのスキューズ数であり、第一スキューズ数とも呼ばれる。

後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった^[3]^[いつ?]。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。

さらに、スキューズは1955年には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、 $x$ は次の数以下に存在することを証明した。

e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\left(<10^{10^{10^{964}}}\right)

これは第二スキューズ数と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 $10^{10^{10^{10^{3}}}}$ も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。

評価の改良

スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数の零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 10¹¹⁶⁵ から 1.65 × 10¹¹⁶⁵ の間に $π(x) > li(x)$ となるような整数 $x$ が連続して 10⁵⁰⁰ 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10³⁷⁰ にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10³¹⁶ にまで下げ、その付近に $π(x) > li(x)$ なる $x$ が存在することを示した。

一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、 $x < 10 8$ においては常に $π(x) < li(x)$ であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 10¹⁰ にまで、Kotnik (2008) によって 10¹⁴ にまで更新された。

正確にいつ初めて $π(x)$ が $li(x)$ が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、 $π(x) > li(x)$ となる具体的な $x$ の値はひとつも知られていない。

Wintner (1941) は、 $π(x) > li(x)$ なる $x$ の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。

出典

^ Kotnik 2008.
^ Bays & Hudson 2000.
^ 『モジュライのたのしみ : フォーラム:現代数学の風景』28号、日本評論社〈数学の楽しみ〉、2001年12月、100頁。 NCID BA54557143。

参考文献

Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, Mathematics of Computation 69 (231): 1285--1296, MR1752093
Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 29 (129): 43--56, doi:10.2307/2005460, MR0369287, http://jstor.org/stable/2005460
Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2005), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, International Journal of Number Theory 6: 681--690, doi:10.1142/S1793042110003125, http://arXiv.org/abs/math/0509312
Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics 29: 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2
Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference π(x) － li(x)”, Acta Arith. 11: 397--410, MR0202686
Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus 158: 1869–1872
Skewes, S. (1933), “On the difference π(x) − Li(x)”, Journal of the London Mathematical Society 8: 277–283
Skewes, S. (1955), “On the difference π(x) − Li(x) (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society 5: 48–70, MR0067145
te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference π(x) − Li(x)”, Mathematics of Computation 48 (177): 323–328, MR0866118
Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics 6: 64–94, MR0137689
Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experiment. Math. 3 (3): 173–197, MR1329368
Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, Amer. J. Math. (The Johns Hopkins University Press) 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 10.2307/2371519, MR0004255

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Skewes Number". MathWorld (英語).

(ポータル数学)

[FOOTNOTEKotnik2008-1] Kotnik 2008.

[FOOTNOTEBaysHudson2000-2] Bays & Hudson 2000.

[3] 『モジュライのたのしみ : フォーラム:現代数学の風景』28号、日本評論社〈数学の楽しみ〉、2001年12月、100頁。 NCID BA54557143。

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